Resolva as EDO:
y^{\prime}=\frac{x y+y^{2}}{x^{2}}

Passo 1

Temos a equação diferencial dada
y'=\frac{x y+y^{2}}{x^{2}}.
O que o enunciado pede: encontrar todas as soluções y(x) (a família geral de soluções) definidas onde a equação faz sentido. Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).
  • A expressão tem divisão por x^{2}, portanto x=0 é um ponto fora do domínio da equação (não podemos usar x=0 nas soluções obtidas).
  • A equação é de primeira ordem (aparece somente y' e y), então esperamos uma família de soluções com uma constante arbitrária C. Não resolvemos nada ainda, apenas identificamos o pedido e os dados.

Passo 2

Observação útil para escolher o método: escrevo o lado direito de forma a evidenciar uma função de \frac{y}{x}.
\frac{x y+y^{2}}{x^{2}}=\frac{xy}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Ou seja, a razão entre y' e uma função que depende apenas de \dfrac{y}{x}. Isso sugere a substituição padrão para equações homogêneas de primeira ordem: definir uma nova função v(x)=\dfrac{y(x)}{x}. Não estou resolvendo ainda, apenas explicando por que a substituição é natural.

Passo 3

Faço a substituição \displaystyle v=\frac{y}{x}. Então \displaystyle y=vx. Agora preciso da derivada y' em termos de v e v'. Uso a regra do produto:
y'=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui explique o que cada termo significa: v é a própria função v(x) e \dfrac{dv}{dx} é a sua derivada em relação a x. A expressão v + x v' é simplesmente a derivada de x\mapsto v(x)\cdot x.

Passo 4

Substituo y=vx e y'=v+xv' na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Mas \dfrac{y}{x}=v, então o lado direito vale v+v^{2}. Cancelando v dos dois lados obtenho
x\frac{dv}{dx}=v^{2}.
Reescrevendo,
\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}}{x}.
Agora temos uma equação para v(x) que é separável (ou seja, podemos separar as variáveis v e x em lados opostos).

Passo 5

Separo variáveis para integrar:
\frac{dv}{v^{2}}=\frac{dx}{x}.
Explico a lógica: coloquei todos os termos com v no lado esquerdo e todos os termos com x no lado direito, de forma que cada lado pode ser integrado em relação à sua variável. Agora integro ambos os lados:
\int \frac{dv}{v^{2}}=\int \frac{dx}{x}.
Calculo as integrais explicitamente. A integral de v^{-2} é -v^{-1} e a integral de x^{-1} é \ln|x|. Portanto,
-\,\frac{1}{v}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária real). Observação: sempre usar \ln|x| quando integrar 1/x para cobrir tanto x>0 quanto x<0.

Passo 6

Agora resolvo a expressão obtida para v. Multiplico por -1 e inverto:
\frac{1}{v}=-\ln|x|-C \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{1}{-\,\ln|x|-C}=-\frac{1}{\ln|x|+C}.
Aqui apenas reorganizei a constante (poderia chamar -C de outra constante, mas manterei C como constante arbitrária). Lembre que essa expressão requer \ln|x|+C\neq 0 para não ter divisão por zero.

Passo 7

Volto à variável original y. Como y=vx, obtenho
y(x)=x\,v(x)=x\left(-\frac{1}{\ln|x|+C}\right)=-\frac{x}{\ln|x|+C}.
Essa é a família geral de soluções obtida pela substituição, válida para x\neq 0 e para x tais que \ln|x|+C\neq 0. A constante C é a constante de integração que aparece ao resolver a equação separável.

Passo 8

Verificação rápida e solução singular: existe também a solução trivial y(x)\equiv 0. Verifico substituindo na equação original:
y\equiv 0 \quad\Rightarrow\quad y' = 0 \quad\text{e}\quad \frac{x y+y^{2}}{x^{2}}=\frac{0+0}{x^{2}}=0,
logo y\equiv 0 satisfaz a equação. Essa solução não é obtida pela fórmula y=-\dfrac{x}{\ln|x|+C} para nenhum valor finito de C (ela corresponde à solução constante v\equiv 0 na etapa da substituição, que foi perdida ao dividir por v^{2} na separação). É preciso lembrar sempre de checar soluções constantes possíveis quando se faz separação que envolve termos com v no denominador.

Passo 9

Resumo das condições de existência: as soluções estão definidas para x\neq 0. A família y=-\dfrac{x}{\ln|x|+C} tem pontos onde \ln|x|+C=0 (nesses pontos a solução explode), então cada membro da família é definida em intervalos onde \ln|x|+C mantém sinal e não zera. A solução y\equiv 0 é globalmente definida em qualquer intervalo que não inclua pontos onde a equação deixa de fazer sentido (aqui, desde que consideremos apenas x\neq 0, ainda é solução).

Resposta

y(x)=-\frac{x}{\ln|x|+C}
y(x)\equiv 0

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