Resolva as EDO:
Passo 1
Temos a equação diferencial dada
O que o enunciado pede: encontrar todas as soluções
(a família geral de soluções) definidas onde a equação faz sentido. Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A variável independente é
e a dependente é . - A expressão tem divisão por
, portanto é um ponto fora do domínio da equação (não podemos usar nas soluções obtidas). - A equação é de primeira ordem (aparece somente
e ), então esperamos uma família de soluções com uma constante arbitrária . Não resolvemos nada ainda, apenas identificamos o pedido e os dados.
Passo 2
Observação útil para escolher o método: escrevo o lado direito de forma a evidenciar uma função de
.
Ou seja, a razão entre
e uma função que depende apenas de
. Isso sugere a substituição padrão para equações homogêneas de primeira ordem: definir uma nova função
. Não estou resolvendo ainda, apenas explicando por que a substituição é natural.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
. Agora preciso da derivada
em termos de
e
. Uso a regra do produto:
Aqui explique o que cada termo significa:
é a própria função
e
é a sua derivada em relação a
. A expressão
é simplesmente a derivada de
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original:
Mas
, então o lado direito vale
. Cancelando
dos dois lados obtenho
Reescrevendo,
Agora temos uma equação para
que é separável (ou seja, podemos separar as variáveis
e
em lados opostos).
Passo 5
Separo variáveis para integrar:
Explico a lógica: coloquei todos os termos com
no lado esquerdo e todos os termos com
no lado direito, de forma que cada lado pode ser integrado em relação à sua variável. Agora integro ambos os lados:
Calculo as integrais explicitamente. A integral de
é
e a integral de
é
. Portanto,
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária real). Observação: sempre usar
quando integrar
para cobrir tanto
quanto
.
Passo 6
Agora resolvo a expressão obtida para
. Multiplico por
e inverto:
Aqui apenas reorganizei a constante (poderia chamar
de outra constante, mas manterei
como constante arbitrária). Lembre que essa expressão requer
para não ter divisão por zero.
Passo 7
Volto à variável original
. Como
, obtenho
Essa é a família geral de soluções obtida pela substituição, válida para
e para
tais que
. A constante
é a constante de integração que aparece ao resolver a equação separável.
Passo 8
Verificação rápida e solução singular: existe também a solução trivial
. Verifico substituindo na equação original:
logo
satisfaz a equação. Essa solução não é obtida pela fórmula
para nenhum valor finito de
(ela corresponde à solução constante
na etapa da substituição, que foi perdida ao dividir por
na separação). É preciso lembrar sempre de checar soluções constantes possíveis quando se faz separação que envolve termos com
no denominador.
Passo 9
Resumo das condições de existência: as soluções estão definidas para
. A família
tem pontos onde
(nesses pontos a solução explode), então cada membro da família é definida em intervalos onde
mantém sinal e não zera. A solução
é globalmente definida em qualquer intervalo que não inclua pontos onde a equação deixa de fazer sentido (aqui, desde que consideremos apenas
, ainda é solução).