Resolva a EDO homogênea:
d yd x=x+yx-y
(Resp. arctg(yx)-12 ln (x^2+y^2)=C)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea dydx=x+yx-y. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem homogênea, e vamos precisar usar a substituição y=vx para transformar em equação separável.

Passo 2

Para ver que é homogênea, note que x+yx-y=1+yx1-yx. Definindo v=yx, temos y=vx e logo dydx=v+xdvdx. Substituindo na EDO original, obtemos
v+xdvdx=1+v1-v

Passo 3

Isolando dvdx:
xdvdx=1+v1-v-v=1+v-v(1-v)1-v=1+v^21-v,ou seja
1-v1+v^2,dv=dxx

Passo 4

Agora integramos os dois lados:
integral1-v1+v^2,dv=integraldxx

Passo 5

No lado esquerdo separamos em duas frações:
integraldv1+v^2-integralv,dv1+v^2=arctan v-12ln(1+v^2)
No lado direito temos ln|x|+C. Igualando:
arctan v-12ln(1+v^2)=ln|x|+C

Passo 6

Voltando a v=yx e usando 1+v^2=x^2+y^2x^2, simplifica-se o termo logarítmico para obter a forma final. A forma implícita da solução é
arctanl(tfracyxr)-tfrac12lnl(x^2+y^2r)=C

Resposta

arctanl(tfracyxr)-tfrac12lnl(x^2+y^2r)=C

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