Seja alpha:[a, b] R^2 uma curva parametrizada regular de classe C^2 com alpha^prime(t)=1 para todo t in[a, b].
Mostre que se k(t)=0 para todo t in[a, b] então o traço de alpha está contido em uuma reta.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma curva regular de classe C² alpha:[a,b]to R^2 parametrizada por comprimento de arco, ou seja, |alpha'(t)|=1 para todo t, e que a curvatura k(t) é identicamente zero. Precisamos usar a definição de curvatura para curvas unitárias e resolver a equação diferencial resultante para mostrar que o traço de alpha fica numa reta.

Passo 2

Para curvas parametrizadas por comprimento de arco sabe-se que a curvatura é dada por k(t)=|alpha''(t)|Se k(t)=0 para todo t, então alpha''(t)=0 em todo o intervalo. Isso é uma equação diferencial de segunda ordem muito simples.

Passo 3

Integrando alpha''(t)=0 obtemos que alpha'(t)=v é constante. Integrando de novo, chega-mos a alpha(t)=v,t+p,onde v,pin R^2 são vetores constantes. Essa expressão é a parametrização de uma reta. Portanto, o traço de alpha está contido numa reta.

Resposta

O traço de alpha é uma reta, pois alpha''(t)=0 implica alpha(t)=v,t+p.

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