Seja
uma curva parametrizada regular de classe
com
para todo
.
Mostre que se
para todo
então o traço de
está contido em uuma reta.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma curva regular de classe C²
parametrizada por comprimento de arco, ou seja,
para todo
, e que a curvatura
é identicamente zero. Precisamos usar a definição de curvatura para curvas unitárias e resolver a equação diferencial resultante para mostrar que o traço de
fica numa reta.
Passo 2
Para curvas parametrizadas por comprimento de arco sabe-se que a curvatura é dada por
Se
para todo
, então
em todo o intervalo. Isso é uma equação diferencial de segunda ordem muito simples.
Passo 3
Integrando
obtemos que
é constante. Integrando de novo, chega-mos a
onde
são vetores constantes. Essa expressão é a parametrização de uma reta. Portanto, o traço de
está contido numa reta.
Resposta
O traço de
é uma reta, pois
implica
.