Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
e) y^prime+y & =cos (x) y(0) & =1 / 2 ( Resp. y=12(cos x+sin x))

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem y' + y = cos(x) com condição inicial y(0)=tfrac12. O conteúdo é método do fator integrante para EDOs lineares: vamos precisar encontrar mu(x), transformar a equação num produto derivado e depois integrar.

Passo 2

O fator integrante mu(x) satisfaz mu'(x)=mu(x), pois o coeficiente de y é 1. Logo
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por e^x e notamos que o lado esquerdo vira derivada de produto:
e^x y' + e^x y = (e^x y)'
Portanto a equação se reescreve como
(e^x y)' = e^x cos(x)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = integral e^x cos(x),dx + C

Passo 5

Para calcular integral e^xcos(x),dx usamos integração por partes duas vezes ou fórmula padrão, obtendo
integral e^xcos(x),dx=tfrac12e^x(cos x+sin x)+C'

Passo 6

Logo
e^x y=tfrac12e^x(cos x+sin x)+C,
que dá
y=tfrac12(cos x+sin x)+Ce^-x

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac12:
tfrac12=tfrac12(1+0)+Ccdot1implies C=0

Resposta

y=tfrac12(cos x+sin x)

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