Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
e)
Resp.
e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
com condição inicial
. O conteúdo é método do fator integrante para EDOs lineares: vamos precisar encontrar
, transformar a equação num produto derivado e depois integrar.
Passo 2
O fator integrante
satisfaz
, pois o coeficiente de
é 1. Logo
Passo 3
Multiplicamos a EDO por
e notamos que o lado esquerdo vira derivada de produto:
Portanto a equação se reescreve como
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Para calcular
usamos integração por partes duas vezes ou fórmula padrão, obtendo
Passo 6
Logo
que dá
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
: