Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
A tarefa é encontrar a solução geral
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O coeficiente que multiplica
é . - O termo que multiplica
é . - O termo independente (lado direito) é
. - Não há condição inicial fornecida, então será encontrada a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a EDO na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem,
Divido a equação original por
. Isso é permitido para todo
porque
para todo
. Após dividir obtemos
Aqui definimos explicitamente
Passo 3
Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Explico: para uma EDO linear
, existe uma função
tal que
tem derivada igual a
. Essa
é dada por
Calculemos
. Temos
Fazendo a substituição óbvia
,
, ou reconhecendo derivada do denominador, obtemos
Portanto
Passo 4
Multiplicamos a equação padronizada por
. O lado esquerdo se transforma em derivada do produto:
Pela construção do fator integrante isso coincide com o que temos ao multiplicar. No lado direito obtemos
Logo a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Para calcular a integral, uso a substituição
, então
ou
. Assim
Voltando a
,
Incorporando a constante na constante geral
, obtemos
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Simplificando as potências:
portanto a solução geral é
onde
é constante arbitrária. Comentário rápido: como não havia condição inicial, deixamos
livre; se tiveres uma condição, basta substituir para achar
.