Resolva a EDO:
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+3 t y=t\left(1+t^{2}\right)^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+3 t y=t\left(1+t^{2}\right)^{-2}.
A tarefa é encontrar a solução geral y(t). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O coeficiente que multiplica y^{\prime} é 1+t^{2}.
  • O termo que multiplica y é 3t.
  • O termo independente (lado direito) é t(1+t^{2})^{-2}.
  • Não há condição inicial fornecida, então será encontrada a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a EDO na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem,
y^{\prime}+p(t)\,y=q(t).
Divido a equação original por 1+t^{2}. Isso é permitido para todo t porque 1+t^{2}>0 para todo t. Após dividir obtemos
y^{\prime}+\frac{3t}{1+t^{2}}\,y=\frac{t}{(1+t^{2})^{3}}.
Aqui definimos explicitamente
p(t)=\frac{3t}{1+t^{2}},\qquad q(t)=\frac{t}{(1+t^{2})^{3}}.

Passo 3

Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Explico: para uma EDO linear y'+p(t)y=q(t), existe uma função \mu(t) tal que \mu(t)y tem derivada igual a \mu(t)q(t). Essa \mu é dada por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Calculemos \mu(t). Temos
\int p(t)\,dt=\int \frac{3t}{1+t^{2}}\,dt.
Fazendo a substituição óbvia u=1+t^{2}, du=2t\,dt, ou reconhecendo derivada do denominador, obtemos
\int \frac{3t}{1+t^{2}}\,dt=\frac{3}{2}\ln(1+t^{2}).
Portanto
\mu(t)=\exp\!\left(\frac{3}{2}\ln(1+t^{2})\right)=(1+t^{2})^{3/2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padronizada por \mu(t)=(1+t^{2})^{3/2}. O lado esquerdo se transforma em derivada do produto:
\bigl((1+t^{2})^{3/2}y\bigr)^{\prime}=(1+t^{2})^{3/2}\,y^{\prime}+\bigl((1+t^{2})^{3/2}\bigr)^{\prime}y.
Pela construção do fator integrante isso coincide com o que temos ao multiplicar. No lado direito obtemos
(1+t^{2})^{3/2}\cdot\frac{t}{(1+t^{2})^{3}}=t(1+t^{2})^{-3/2}.
Logo a equação fica
\bigl((1+t^{2})^{3/2}y\bigr)^{\prime}=t(1+t^{2})^{-3/2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^{2})^{3/2}y=\int t(1+t^{2})^{-3/2}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Para calcular a integral, uso a substituição u=1+t^{2}, então du=2t\,dt ou t\,dt=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int t(1+t^{2})^{-3/2}\,dt=\int \tfrac{1}{2}u^{-3/2}\,du=\tfrac{1}{2}\cdot\left(\frac{u^{-1/2}}{-1/2}\right)+\text{const}=-u^{-1/2}+\text{const}.
Voltando a t,
\int t(1+t^{2})^{-3/2}\,dt=-(1+t^{2})^{-1/2}+ \text{const}.
Incorporando a constante na constante geral C, obtemos
(1+t^{2})^{3/2}y=-(1+t^{2})^{-1/2}+C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por (1+t^{2})^{3/2}:
y=-\frac{(1+t^{2})^{-1/2}}{(1+t^{2})^{3/2}}+\frac{C}{(1+t^{2})^{3/2}}.
Simplificando as potências:
\frac{(1+t^{2})^{-1/2}}{(1+t^{2})^{3/2}}=(1+t^{2})^{-2},
portanto a solução geral é
y(t)=- (1+t^{2})^{-2}+C(1+t^{2})^{-3/2},
onde C é constante arbitrária. Comentário rápido: como não havia condição inicial, deixamos C livre; se tiveres uma condição, basta substituir para achar C.

Resposta

y(t)=- (1+t^{2})^{-2}+C(1+t^{2})^{-3/2}

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