Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
ou mostrar que ele não existe. Informações relevantes dadas:
- A função considerada é
, que está definida para todo com (no ponto o denominador é zero). - O ponto de interesse é
. - O que se quer saber é: existe um número
tal que, para todas as sequências com , tem-se ?
Passo 2
Uma ideia natural para funções que envolvem
é usar coordenadas polares. Explico devagar:
- Em coordenadas polares definimos
e , onde é a distância ao origem e é o ângulo. Assim
desde que
.
- Substituindo na função, para
(ou seja, ):
Ou seja, para qualquer ponto diferente da origem a função vale
, que depende só do ângulo
e não de
.
Passo 3
Interpretação do resultado em coordenadas polares:
- Quando
isso significa , mas pode variar dependendo do caminho. Se aproximarmos o ponto mantendo fixo (isto é, aproximando ao longo de uma reta que sai da origem com ângulo ), então os valores de permanecem exatamente para todo . Logo o limite ao longo dessa reta é . - Como
depende de , podemos obter diferentes valores de limite aproximando pela reta com diferentes ângulos.
Passo 4
Mostro exemplos concretos de caminhos que dão limites distintos:
- Aproximando pela reta vertical positiva (eixo
para cima): tomar com . Aqui e
portanto o limite ao longo dessa direção é
.
- Aproximando pela reta horizontal positiva (eixo
para a direita): tomar com . Aqui e
portanto o limite ao longo dessa direção é
.
- Aproximando pela reta vertical negativa (eixo
para baixo): tomar com . Aqui e o valor é .
Temos, portanto, pelo menos três limites ao longo de caminhos diferentes:
. Se o limite total existisse e fosse igual a algum
, então todos esses caminhos teriam que dar o mesmo
, o que não acontece. Logo, há dependência do caminho.
Passo 5
Argumento final e rigoroso: em polares vimos que, para qualquer
fixo,
Se o limite de
em
existisse, seria um número
único e todas as aproximações deveriam convergir para
. Mas escolhendo dois ângulos
e
com
(por exemplo
e
) obtém-se dois limites distintos ao aproximar por retas correspondentes. Isso contradiz a existência de um limite único. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.