Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
(0,5) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
ou mostrar que ele não existe. Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, que está definida para todo (x,y) com (x,y)\neq(0,0) (no ponto (0,0) o denominador é zero).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • O que se quer saber é: existe um número L tal que, para todas as sequências (x_n,y_n)\to(0,0) com (x_n,y_n)\neq(0,0), tem-se f(x_n,y_n)\to L?

Passo 2

Uma ideia natural para funções que envolvem x^{2}+y^{2} é usar coordenadas polares. Explico devagar:
  • Em coordenadas polares definimos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Assim
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
desde que r>0.
  • Substituindo na função, para (x,y)\neq(0,0) (ou seja, r>0):
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta.
Ou seja, para qualquer ponto diferente da origem a função vale \sin\theta, que depende só do ângulo \theta e não de r.

Passo 3

Interpretação do resultado em coordenadas polares:
  • Quando (x,y)\to(0,0) isso significa r\to 0, mas \theta pode variar dependendo do caminho. Se aproximarmos o ponto (0,0) mantendo \theta fixo (isto é, aproximando ao longo de uma reta que sai da origem com ângulo \theta), então os valores de f(x,y) permanecem exatamente \sin\theta para todo r>0. Logo o limite ao longo dessa reta é \sin\theta.
  • Como \sin\theta depende de \theta, podemos obter diferentes valores de limite aproximando pela reta com diferentes ângulos.

Passo 4

Mostro exemplos concretos de caminhos que dão limites distintos:
  • Aproximando pela reta vertical positiva (eixo y para cima): tomar (x,y)=(0,t) com t\to 0^{+}. Aqui \theta=\tfrac{\pi}{2} e
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{t}{|t|}=1,
portanto o limite ao longo dessa direção é 1.
  • Aproximando pela reta horizontal positiva (eixo x para a direita): tomar (x,y)=(t,0) com t\to 0^{+}. Aqui \theta=0 e
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0,
portanto o limite ao longo dessa direção é 0.
  • Aproximando pela reta vertical negativa (eixo y para baixo): tomar (x,y)=(0,t) com t\to 0^{-}. Aqui \theta=-\tfrac{\pi}{2} e o valor é -1.
Temos, portanto, pelo menos três limites ao longo de caminhos diferentes: 1,\;0,\;-1. Se o limite total existisse e fosse igual a algum L, então todos esses caminhos teriam que dar o mesmo L, o que não acontece. Logo, há dependência do caminho.

Passo 5

Argumento final e rigoroso: em polares vimos que, para qualquer \theta fixo,
\lim_{r\to 0^{+}} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\lim_{r\to 0^{+}} \sin\theta=\sin\theta.
Se o limite de f(x,y) em (0,0) existisse, seria um número L único e todas as aproximações deveriam convergir para L. Mas escolhendo dois ângulos \theta_{1} e \theta_{2} com \sin\theta_{1}\neq\sin\theta_{2} (por exemplo \theta_{1}=\tfrac{\pi}{2} e \theta_{2}=0) obtém-se dois limites distintos ao aproximar por retas correspondentes. Isso contradiz a existência de um limite único. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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