Resolva a EDO
. Calcule também pela forma alternativa.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita na forma
com e . - Precisamos encontrar a família geral de soluções (constante de integração incluída).
- O enunciado também solicita “calcule também pela forma alternativa”, ou seja, apresentar uma segunda forma de solução (um método diferente do principal).
Passo 2
Vamos primeiro verificar se a equação é exata. Explico o que é isso de forma bem direta: uma equação diferencial na forma
é exata quando existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática (suficiente em regiões onde as derivadas são contínuas) é verificar se
Calculemos as derivadas parciais (mostro cada passo):
Como
(ambas iguais a
), a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que é exata, procuramos a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos qualquer termo que dependa só de
).
Passo 4
Para determinar
usamos a condição
. Calculamos
a partir da expressão que encontramos:
Igualando a
obtemos
Logo
, o que implica
(constante real).
Passo 5
Portanto a função potencial é
A solução geral implícita da equação exata é
. Podemos escrever, multiplicando por
para simplificar:
onde
é uma constante arbitrária. Essa é a solução obtida pelo método da exatidão.
Passo 6
Agora faço a “forma alternativa” pedida — vou resolver usando a transformação homogênea, que é outro método padrão. Primeiro reescrevo a equação isolando
:
Note que o lado direito é uma função de
(é homogêneo de grau 0), então usa-se a substituição
, onde
é função de
. Explico a ideia: em equações homogêneas, definir
transforma a equação numa de variáveis separáveis.
Passo 7
Com
temos
Substituindo na equação:
Isolando
:
Passo 8
Separando variáveis (colocar tudo em
de um lado e
do outro):
Agora integramos os dois lados. Para a integral em
uso uma substituição simples: seja
, então
, ou
. Assim
Voltando a
:
A integral do lado direito é
.
Passo 9
Igualando as integrais obtemos
Multiplicando por
:
Exponentiando:
Como
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
onde
é constante arbitrária. Essa é exatamente a mesma forma implícita que obtivemos pelo método exato, como esperado.
Passo 10
Conclusão dos dois métodos: tanto pela verificação de exatidão e integração de
quanto pela substituição homogênea
, chegamos à mesma solução implícita. A resposta pode ser apresentada de forma compacta como abaixo.