Resolva a EDO \left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} y=0. Calcule também pela forma alternativa.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0
e pede que a resolvamos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x^{2}-y^{2} e N(x,y)=-2xy.
  • Precisamos encontrar a família geral de soluções (constante de integração incluída).
  • O enunciado também solicita “calcule também pela forma alternativa”, ou seja, apresentar uma segunda forma de solução (um método diferente do principal).

Passo 2

Vamos primeiro verificar se a equação é exata. Explico o que é isso de forma bem direta: uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata quando existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Uma condição prática (suficiente em regiões onde as derivadas são contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais (mostro cada passo):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}-y^{2}\right)=-2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-2xy\right)=-2y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x (ambas iguais a -2y), a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que é exata, procuramos a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (x^{2}-y^{2})\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+\varphi(y),
onde \varphi(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos qualquer termo que dependa só de y).

Passo 4

Para determinar \varphi(y) usamos a condição \partial \Phi/\partial y=N(x,y)=-2xy. Calculamos \partial \Phi/\partial y a partir da expressão que encontramos:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+\varphi(y)\right)=-2xy+\varphi'(y).
Igualando a N(x,y) obtemos
-2xy+\varphi'(y)=-2xy.
Logo \varphi'(y)=0, o que implica \varphi(y)=C (constante real).

Passo 5

Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}+C.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos escrever, multiplicando por 3 para simplificar:
x^{3}-3x y^{2}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante arbitrária. Essa é a solução obtida pelo método da exatidão.

Passo 6

Agora faço a “forma alternativa” pedida — vou resolver usando a transformação homogênea, que é outro método padrão. Primeiro reescrevo a equação isolando dy/dx:
\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx-2xy\,dy=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}.
Note que o lado direito é uma função de y/x (é homogêneo de grau 0), então usa-se a substituição y=vx, onde v é função de x. Explico a ideia: em equações homogêneas, definir v=y/x transforma a equação numa de variáveis separáveis.

Passo 7

Com y=vx temos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{x^{2}-(vx)^{2}}{2x(vx)}=\frac{1-v^{2}}{2v}.
Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v^{2}}{2v}-v=\frac{1-v^{2}-2v^{2}}{2v}=\frac{1-3v^{2}}{2v}.

Passo 8

Separando variáveis (colocar tudo em v de um lado e x do outro):
\frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos os dois lados. Para a integral em v uso uma substituição simples: seja u=1-3v^{2}, então du=-6v\,dv, ou v\,dv=-\tfrac{1}{6}\,du. Assim
\int \frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv = 2\int \frac{v\,dv}{u} = 2\int \frac{-1}{6}\frac{du}{u} = -\frac{1}{3}\ln|u| + \text{const}.
Voltando a v:
\int \frac{2v}{1-3v^{2}}\,dv = -\frac{1}{3}\ln|1-3v^{2}| + \text{const}.
A integral do lado direito é \int dx/x = \ln|x|+\text{const}.

Passo 9

Igualando as integrais obtemos
-\frac{1}{3}\ln|1-3v^{2}|=\ln|x|+C.
Multiplicando por -3:
\ln|1-3v^{2}|=-3\ln|x|+C_{1}.
Exponentiando:
|1-3v^{2}|=C_{2}x^{-3}.
Como v=y/x, substituímos de volta:
1-3\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=C_{2}x^{-3}.
Multiplicando ambos os lados por x^{3}:
x^{3}-3x y^{2}=C_{3},
onde C_{3} é constante arbitrária. Essa é exatamente a mesma forma implícita que obtivemos pelo método exato, como esperado.

Passo 10

Conclusão dos dois métodos: tanto pela verificação de exatidão e integração de M quanto pela substituição homogênea y= vx, chegamos à mesma solução implícita. A resposta pode ser apresentada de forma compacta como abaixo.

Resposta

x^{3}-3x y^{2}=C

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