Dada a EDO inexata
escolha uma função
conveniente para torná-la exata.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu escolha uma função
(um fator integrante) que torne a equação exata. Informações relevantes que temos:
- A equação pode ser escrita em forma diferencial como
. - Queremos encontrar
tal que seja exata (ou seja, satisfaça a condição de exatidão).
Passo 2
Reescrevo a equação em forma diferencial. Como
, temos
Logo identifico
Passo 3
Explico o que significa ser exata: uma equação
é exata se existe uma função
tal que
e
. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação original não é exata.
Passo 4
Apresento a ideia do fator integrante dependendo só de
. Se
, a condição de exatidão para
é
Como
depende só de
,
e
. Portanto
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
O lado direito deve depender apenas de
para que exista
. Se isso ocorrer,
.
Passo 5
Calculo o lado direito usando nossos
e
:
então
Isto depende só de
, ótimo — então existe um fator integrante
. Agora calculemos:
Faço a integral:
. Logo
Para conveniência, e supondo
, podemos tomar
Passo 6
Verifico que multiplicando a equação original por
obtemos uma equação exata. Multiplicando
por
dá
Calculo as parciais:
Como são iguais, a equação multiplicada por
é de fato exata.
Passo 7
Observação adicional (útil para a prova): também existiría um fator integrante dependendo só de
. Se procurarmos
encontramos
. Mas como o enunciado pediu para escolher “uma” função conveniente, a escolha
é perfeitamente válida e simples.