Dada a EDO inexata x y^{\prime}-y=0 escolha uma função \mu conveniente para torná-la exata.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y' - y = 0
e pede que eu escolha uma função \mu (um fator integrante) que torne a equação exata. Informações relevantes que temos:
  • A equação pode ser escrita em forma diferencial como M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Queremos encontrar \mu tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata (ou seja, satisfaça a condição de exatidão).

Passo 2

Reescrevo a equação em forma diferencial. Como y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
x\frac{dy}{dx}-y=0 \quad\Longrightarrow\quad -y\,dx + x\,dy = 0.
Logo identifico
M(x,y) = -y,\qquad N(x,y)=x.

Passo 3

Explico o que significa ser exata: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Uma condição prática necessária (e suficiente em domínios apropriados) é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial(-y)}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1.
Como -1 \neq 1, a equação original não é exata.

Passo 4

Apresento a ideia do fator integrante dependendo só de x. Se \mu=\mu(x), a condição de exatidão para \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 é
\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}.
Como \mu depende só de x, \partial(\mu M)/\partial y = \mu\,\partial M/\partial y e \partial(\mu N)/\partial x = \mu'\,N + \mu\,\partial N/\partial x. Portanto
\mu\frac{\partial M}{\partial y} = \mu' N + \mu\frac{\partial N}{\partial x}.
Dividindo por \mu (assumindo \mu\neq0) obtemos
\frac{\mu'}{\mu} = \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}.
O lado direito deve depender apenas de x para que exista \mu(x). Se isso ocorrer, \mu(x)=\exp\!\big(\int (\mu'/\mu)\,dx\big).

Passo 5

Calculo o lado direito usando nossos M e N:
\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = -1 - 1 = -2,
então
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{-2}{x}.
Isto depende só de x, ótimo — então existe um fator integrante \mu(x). Agora calculemos:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right).
Faço a integral: \int -\dfrac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|. Logo
\mu(x)=\exp(-2\ln|x|)=|x|^{-2}.
Para conveniência, e supondo x\neq0, podemos tomar
\mu(x)=x^{-2}.

Passo 6

Verifico que multiplicando a equação original por \mu(x)=x^{-2} obtemos uma equação exata. Multiplicando -y\,dx + x\,dy = 0 por x^{-2}
\widetilde M\,dx + \widetilde N\,dy = 0\quad\text{com}\quad \widetilde M = -\frac{y}{x^{2}},\quad \widetilde N = \frac{1}{x}.
Calculo as parciais:
\frac{\partial\widetilde M}{\partial y} = -\frac{1}{x^{2}},\qquad \frac{\partial\widetilde N}{\partial x} = -\frac{1}{x^{2}}.
Como são iguais, a equação multiplicada por \mu(x)=x^{-2} é de fato exata.

Passo 7

Observação adicional (útil para a prova): também existiría um fator integrante dependendo só de y. Se procurarmos \mu=\mu(y) encontramos \mu(y)=y^{-2}. Mas como o enunciado pediu para escolher “uma” função conveniente, a escolha \mu(x)=x^{-2} é perfeitamente válida e simples.

Resposta

\mu(x)=x^{-2}

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