Resolva a EDO
. Calcule também pela forma alternativa.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
- Resolver a equação diferencial (encontrar a solução geral).
- “Calcular também pela forma alternativa” (ou seja, resolver da outra maneira possível e mostrar que dá o mesmo resultado).
Informações relevantes fornecidas:
é o coeficiente de
e
é o coeficiente de
.
A solução geral deve aparecer implicitamente como uma função (constante).
A solução geral deve aparecer implicitamente como uma função
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo didático): “equação exata”.
Definição e condição: uma equação diferencial escrita como
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é:
Se essa igualdade vale, a equação é exata e podemos achar
integrando
em
(ou
em
) e determinando a função complementar.
Passo 3
Verificação de exatidão para a nossa equação.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
a equação é exata. Ou seja, existe
tal que
e
.
Passo 4
Método direto (integrando
em
) — passo-a-passo.
Sabemos que
. Para obter
integramos em relação a
, tratando
como constante:
Calcule cada integral:
Portanto, ao integrar obtemos
onde
é uma função de
(constante de integração em relação a
) que precisamos determinar.
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calculemos
a partir da expressão anterior:
Pelo requisito de exatidão,
deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados, obtemos
Passo 6
Integrar
para obter
.
Integramos:
onde
é constante. Podemos absorver constantes numa constante final da solução
, então podemos tomar
por enquanto e lembrar que teremos uma constante global ao final.
Substituindo
em
, obtemos a função potencial:
A solução geral implícita da equação exata é
ou seja
Passo 7
Simplificação opcional (eliminar fração). Para ficar mais “bonitinho” podemos multiplicar por
e renomear a constante:
onde
é outra constante arbitrária. Ambas formas representam a mesma família de curvas solução.
Passo 8
Forma alternativa (integrando
em
primeiro) — demonstrando que dá o mesmo resultado.
Agora vamos resolver integrando
em relação a
. Lembrando
. Integramos:
onde
é a “constante” de integração (agora função de
).
A condição a usar é
. Calcule
:
Igualando a
, obtemos
Cancelando
dos dois lados:
Integrando:
Substituindo em
,
Reordenando os termos, vemos que
é exatamente
que encontramos antes:
Portanto a solução implícita
constante coincide com a anterior.
Passo 9
Conclusão e checagem rápida.
- Verificamos que a equação é exata (
). - Encontramos a função potencial integrando por
ou por ; ambos os caminhos deram a mesma . - Assim a solução geral é a família de curvas implícita
.