Resolva a EDO (2 x-y+1) \mathrm{d} x-(x+3 y-2) \mathrm{d} y=0. Calcule também pela forma alternativa.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x - y + 1)\,dx - (x + 3y - 2)\,dy = 0,
e pede:
  • Resolver a equação diferencial (encontrar a solução geral).
  • “Calcular também pela forma alternativa” (ou seja, resolver da outra maneira possível e mostrar que dá o mesmo resultado).
Informações relevantes fornecidas:
M(x,y)=2x - y + 1
é o coeficiente de dx e
N(x,y)=-(x + 3y - 2) = -x - 3y + 2
é o coeficiente de dy.
A solução geral deve aparecer implicitamente como uma função \Phi(x,y)=C (constante).

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (passo-a-passo didático): “equação exata”.
Definição e condição: uma equação diferencial escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale, a equação é exata e podemos achar \Phi integrando M em x (ou N em y) e determinando a função complementar.

Passo 3

Verificação de exatidão para a nossa equação.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x - y + 1) = -1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x - 3y + 2) = -1.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} = -1,
a equação é exata. Ou seja, existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Método direto (integrando M em x) — passo-a-passo.
Sabemos que \Phi_x(x,y)=M(x,y)=2x - y + 1. Para obter \Phi integramos em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (2x - y + 1)\,dx = \int 2x\,dx - \int y\,dx + \int 1\,dx.
Calcule cada integral:
\int 2x\,dx = x^2,\qquad \int y\,dx = xy,\qquad \int 1\,dx = x.
Portanto, ao integrar obtemos
\Phi(x,y)=x^2 - xy + x + h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante de integração em relação a x) que precisamos determinar.

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \Phi_y=N.
Calculemos \Phi_y a partir da expressão anterior:
\Phi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - xy + x + h(y)\bigr) = -x + h'(y).
Pelo requisito de exatidão, \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=-x - 3y + 2. Igualando:
-x + h'(y) = -x - 3y + 2.
Cancelando -x dos dois lados, obtemos
h'(y) = -3y + 2.

Passo 6

Integrar h'(y) para obter h(y).
Integramos:
h(y) = \int (-3y + 2)\,dy = -\frac{3}{2}y^2 + 2y + C_1,
onde C_1 é constante. Podemos absorver constantes numa constante final da solução \Phi=C, então podemos tomar C_1=0 por enquanto e lembrar que teremos uma constante global ao final.
Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial:
\Phi(x,y)=x^2 - xy + x - \frac{3}{2}y^2 + 2y.
A solução geral implícita da equação exata é
\Phi(x,y) = C,
ou seja
x^2 - xy + x - \frac{3}{2}y^2 + 2y = C.

Passo 7

Simplificação opcional (eliminar fração). Para ficar mais “bonitinho” podemos multiplicar por 2 e renomear a constante:
2x^2 - 2xy + 2x - 3y^2 + 4y = C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária. Ambas formas representam a mesma família de curvas solução.

Passo 8

Forma alternativa (integrando N em y primeiro) — demonstrando que dá o mesmo resultado.
Agora vamos resolver integrando N(x,y) em relação a y. Lembrando N(x,y)=-x - 3y + 2. Integramos:
\Psi(x,y)=\int N(x,y)\,dy = \int (-x - 3y + 2)\,dy = -xy - \frac{3}{2}y^2 + 2y + g(x),
onde g(x) é a “constante” de integração (agora função de x).
A condição a usar é \Psi_x = M(x,y). Calcule \Psi_x:
\Psi_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-xy - \tfrac{3}{2}y^2 + 2y + g(x)\bigr) = -y + g'(x).
Igualando a M(x,y)=2x - y + 1, obtemos
-y + g'(x) = 2x - y + 1.
Cancelando -y dos dois lados:
g'(x)=2x + 1.
Integrando:
g(x)=\int (2x + 1)\,dx = x^2 + x + C_2.
Substituindo em \Psi,
\Psi(x,y) = -xy - \frac{3}{2}y^2 + 2y + x^2 + x + C_2.
Reordenando os termos, vemos que \Psi(x,y) é exatamente \Phi(x,y) que encontramos antes:
\Psi(x,y)=x^2 - xy + x - \frac{3}{2}y^2 + 2y + C_2.
Portanto a solução implícita \Psi(x,y)= constante coincide com a anterior.

Passo 9

Conclusão e checagem rápida.
  • Verificamos que a equação é exata ( \partial M/\partial y=\partial N/\partial x).
  • Encontramos a função potencial integrando por x ou por y; ambos os caminhos deram a mesma \Phi.
  • Assim a solução geral é a família de curvas implícita \Phi(x,y)=C.

Resposta

x^{2}-xy+x-\dfrac{3}{2}y^{2}+2y=C

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