Resolva a EDO
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação está escrita na forma diferencial
. - Aqui
. - E
.
Objetivo: encontrar a solução geral (implícita ou explícita) dessa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro precisamos decidir como atacar o problema. Um método direto é verificar se a forma diferencial é exata. Vou explicar o que isso significa de um jeito simples: uma forma
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição prática — necessária e suficiente quando
e
têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa — é
Agora calculamos essas derivadas parciais para a nossa equação. Diferenciando
em relação a
obtemos
Diferenciando
em relação a
obtemos
Como
(ambas valem
), a forma é exata. Bom sinal: existe uma função potencial
cuja diferenciação gera a equação.
Passo 3
Agora usamos a praticidade da exatidão: procurar
tal que
e
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo:
Somando e acrescentando uma “constante” de integração que pode depender de
, temos
onde
é uma função a determinar (porque ao integrar em
podemos perder termos que dependem só de
).
Passo 4
Para encontrar
diferenciamos
em relação a
e igualamos a
. Calculando
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados obtemos uma equação para
:
Passo 5
Integramos
em relação a
para achar
:
onde
é uma constante real. Podemos incorporar essa constante depois como a constante geral da solução implícita.
Portanto a função potencial completa é
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
constante. Ou seja, levando o
para o lado direito:
onde
é uma constante arbitrária. Podemos verificar rapidamente que diferenciando
obtemos de volta
, então a solução está correta. Não é necessário isolar
explicitamente (além de ser difícil aqui, pois daria uma equação cúbica em
).