Resolva a EDO \left(3 x^{2}-2 x y+2\right) \mathrm{d} x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) \mathrm{d} y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right)\,\mathrm{d}x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right)\,\mathrm{d}y=0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita na forma diferencial M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0.
  • Aqui M(x,y)=3x^{2}-2xy+2.
  • E N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3.
    Objetivo: encontrar a solução geral (implícita ou explícita) dessa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro precisamos decidir como atacar o problema. Um método direto é verificar se a forma diferencial é exata. Vou explicar o que isso significa de um jeito simples: uma forma M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática — necessária e suficiente quando M e N têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa — é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Agora calculamos essas derivadas parciais para a nossa equação. Diferenciando M em relação a y obtemos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3x^{2}-2xy+2\right)=-2x.
Diferenciando N em relação a x obtemos
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(6y^{2}-x^{2}+3\right)=-2x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} (ambas valem -2x), a forma é exata. Bom sinal: existe uma função potencial \Phi(x,y) cuja diferenciação gera a equação.

Passo 3

Agora usamos a praticidade da exatidão: procurar \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,\mathrm{d}x=\int\left(3x^{2}-2xy+2\right)\,\mathrm{d}x.
Faço a integral termo a termo:
\int 3x^{2}\,\mathrm{d}x=x^{3}, \qquad \int (-2xy)\,\mathrm{d}x=-x^{2}y, \qquad \int 2\,\mathrm{d}x=2x.
Somando e acrescentando uma “constante” de integração que pode depender de y, temos
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (porque ao integrar em x podemos perder termos que dependem só de y).

Passo 4

Para encontrar h(y) diferenciamos \Phi(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y). Calculando \Phi_{y}:
\Phi_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-x^{2}y+2x+h(y)\bigr)=-x^{2}+h'(y).
Mas sabemos que \Phi_{y}(x,y) deve ser igual a N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3. Igualando:
-x^{2}+h'(y)=6y^{2}-x^{2}+3.
Cancelando -x^{2} dos dois lados obtemos uma equação para h'(y):
h'(y)=6y^{2}+3.

Passo 5

Integramos h'(y) em relação a y para achar h(y):
h(y)=\int\bigl(6y^{2}+3\bigr)\,\mathrm{d}y=2y^{3}+3y+C,
onde C é uma constante real. Podemos incorporar essa constante depois como a constante geral da solução implícita.
Portanto a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y + C.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por \Phi(x,y)= constante. Ou seja, levando o C para o lado direito:
x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=\tilde{C},
onde \tilde{C} é uma constante arbitrária. Podemos verificar rapidamente que diferenciando \Phi obtemos de volta M\,\mathrm{d}x+N\,\mathrm{d}y, então a solução está correta. Não é necessário isolar y explicitamente (além de ser difícil aqui, pois daria uma equação cúbica em y).

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C

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