Resolva a Edo linear de 2^{\underline{a}} ordem não-homogênea: y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=4 x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não-homogênea
y''-y'-2y=4x^{2},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
É uma EDO linear de ordem 2.
Os coeficientes são constantes.
O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio 4x^{2} (grau 2).
Precisa-se encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução complementar (solução da equação homogênea associada).
A equação homogênea associada é
y''-y'-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtém-se a equação característica
r^{2}-r-2=0.
Agora vamos resolver essa equação quadrática: usar a fórmula de Bhaskara (ou fatoração). Fatora-se:
r^{2}-r-2=(r-2)(r+1)=0.
Portanto as raízes são r_{1}=2 e r_{2}=-1.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea (chamada solução complementar) é
y_{c}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (constantes de integração).
Passo 3
Escolher a forma da solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados e justificar a escolha.
O termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, 4x^{2}. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular y_{p}(x) que seja um polinômio de grau igual ao do lado direito, a menos que haja ressonância com a solução complementar.
Ressonância: se e^{0x}=1 (i.e. um polinômio constante) aparecesse como solução da homogênea, seria preciso multiplicar o palpite por x elevado à multiplicidade correspondente. Aqui as raízes da característica são 2 e -1, portanto r=0 não é raiz; não há ressonância com polinômios. Logo podemos tentar
y_{p}(x)=ax^{2}+bx+c,
com a,b,c a determinar. (Explicando: a,b,c são coeficientes indeterminados que vamos ajustar para que y_p satisfaça a EDO.)
Passo 4
Calcular derivadas de y_{p} e substituir na equação para determinar a,b,c.
Derivadas:
y_{p}'(x)=2ax+b,
y_{p}''(x)=2a.
Substituir em y''-y'-2y dá
y_{p}''-y_{p}'-2y_{p}=2a-(2ax+b)-2(ax^{2}+bx+c).
Agora expandir e agrupar termos por potências de x:
Primeiro expandir:
2a-(2ax+b)-2ax^{2}-2bx-2c.
Agrupando por potências de x:
Coeficiente de x^{2}: -2a.
Coeficiente de x: -2a-2b.
Termo constante: 2a-b-2c.
Queremos que isso seja igual ao lado direito 4x^{2}, que tem coeficientes:
de x^{2}: 4,
de x: 0,
constante: 0.
Logo obtemos o sistema de equações para a,b,c por comparação de coeficientes:
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais se estas forem fornecidas.
Uma observação prática para prova: sempre cheque se a forma escolhida para y_{p} entra em conflito com y_{c}. Se houvesse conflito (por exemplo se o termo for uma constante e r=0 fosse raiz da característica), multiplicar a tentativa por x^{s}, onde s é a multiplicidade de r=0 na característica.