Seja f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } 0 \leq x<3 \\\ x+1, \text { se } x \geq 3\end{array}\right., calcule a transformada de Laplace de f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Função:
f(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x<3,\\[4pt] x+1, & x\ge 3. \end{cases}
  • Pedido: calcular a transformada de Laplace de f(x), ou seja \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}f(x)\,dx.]

Passo 2

Lembrete da definição e da ideia que vou usar.
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função g(x) é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} g(x)\,dx,
onde s é a variável complexa/real que aparece no expoente e a integral deve convergir para o s considerado.
  • Observação prática para funções por partes: se f(x)=0 em [0,3) e diferente de zero para x\ge3, a integral começa efetivamente em 3. Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{3}^{\infty} e^{-s x}(x+1)\,dx.

Passo 3

Representação com a função degrau (teorema do deslocamento no tempo) — isso facilita muito os cálculos em provas.
  • A função degrau de Heaviside deslocada é u(x-a) que vale 0 para x<a e 1 para x\ge a.
  • Podemos escrever f(x) como
f(x)=(x+1)u(x-3).
  • É útil separar x+1 em termos de x-3 (a variável deslocada). Note que
x+1=(x-3)+4.
Logo
f(x)=\bigl((x-3)+4\bigr)u(x-3).

Passo 4

Usar o teorema do deslocamento (shifting theorem) para Laplace.
  • Teorema do deslocamento: se g(t) for uma função definida para t\ge0, então
\mathcal{L}\{g(x-a)u(x-a)\}(s)=e^{-a s}\mathcal{L}\{g(t)\}(s),
onde no lado direito \mathcal{L}\{g(t)\} é a transformada de g considerada como função de t (variável de tempo iniciando em 0).
  • No nosso caso, tomando t=x-3, temos g(t)=t+4. Assim
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-3s}\,\mathcal{L}\{t+4\}(s).

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{t+4\}(s) usando transformadas básicas.
  • Transformadas básicas que usaremos:
    • \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} para \Re(s)>0.
    • \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}} para \Re(s)>0.
  • Como t+4= t + 4\cdot 1, temos linearidade:
\mathcal{L}\{t+4\}(s)=\mathcal{L}\{t\}(s)+4\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s^{2}}+\frac{4}{s}.

Passo 6

Combinar o deslocamento com o resultado e simplificar.
  • Multiplicando pelo fator e^{-3s} do deslocamento:
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-3s}\left(\frac{1}{s^{2}}+\frac{4}{s}\right).
  • Colocando em denominador comum:
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-3s}\,\frac{1+4s}{s^{2}}.
  • Região de convergência: as transformadas usadas exigem \Re(s)>0, então a expressão é válida para \Re(s)>0.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional mas útil em prova): calcular diretamente a integral para confirmar.
  • Começando de
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{3}^{\infty} e^{-s x}(x+1)\,dx,
fazer a substituição u=x-3 x=u+3 e quando x=3 tem u=0. A integral vira
\int_{0}^{\infty} e^{-s(u+3)}(u+4)\,du = e^{-3s}\int_{0}^{\infty} e^{-s u}(u+4)\,du.
Usando \int_{0}^{\infty} e^{-s u}\,du=\dfrac{1}{s} e \int_{0}^{\infty} u e^{-s u}\,du=\dfrac{1}{s^{2}} obtém-se novamente
\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-3s}\left(\frac{1}{s^{2}}+\frac{4}{s}\right)=e^{-3s}\frac{1+4s}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-3s}\bigl(1+4s\bigr)}{s^{2}},\qquad \Re(s)>0

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