Seja
, calcule a transformada de Laplace de
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Função:
- Pedido: calcular a transformada de Laplace de
, ou seja .]
Passo 2
Lembrete da definição e da ideia que vou usar.
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa/real que aparece no expoente e a integral deve convergir para o
considerado.
- Observação prática para funções por partes: se
em e diferente de zero para , a integral começa efetivamente em . Portanto
Passo 3
Representação com a função degrau (teorema do deslocamento no tempo) — isso facilita muito os cálculos em provas.
- A função degrau de Heaviside deslocada é
que vale para e para . - Podemos escrever
como
- É útil separar
em termos de (a variável deslocada). Note que
Logo
Passo 4
Usar o teorema do deslocamento (shifting theorem) para Laplace.
- Teorema do deslocamento: se
for uma função definida para , então
onde no lado direito
é a transformada de
considerada como função de
(variável de tempo iniciando em
).
- No nosso caso, tomando
, temos . Assim
Passo 5
Calcular
usando transformadas básicas.
- Transformadas básicas que usaremos:
-
para . -
para .
-
- Como
, temos linearidade:
Passo 6
Combinar o deslocamento com o resultado e simplificar.
- Multiplicando pelo fator
do deslocamento:
- Colocando em denominador comum:
- Região de convergência: as transformadas usadas exigem
, então a expressão é válida para .
Passo 7
Verificação alternativa (opcional mas útil em prova): calcular diretamente a integral para confirmar.
- Começando de
fazer a substituição
dá
e quando
tem
. A integral vira
Usando
e
obtém-se novamente