Resolva a edo, pelo método dos coeficientes a determinar:
ddotx-2 dotx+x=t^2 e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
ddotx-2dotx+x = t^2 e^t
pelo método dos coeficientes a determinar. É uma EDO linear de coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois buscar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
ddotx-2dotx+x=0
Montamos a equação característica
r^2 - 2r +1 =0
que tem a raiz dupla r=1. Logo a solução geral da homogênea é
xh(t) = l(C1 + C2,tr)e^t

Passo 3

Para a solução particular xp usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é t^2 e^t e r=1 é raiz de multiplicidade 2, multiplicamos o ansatz habitual (At^2+Bt+C)e^t por t^2. Assim propomos
xp(t) = e^tl(A t^4 + B t^3 + C t^2r)
Se definirmos P(t)=A t^4 + B t^3 + C t^2, então
xp = P e^t, dotxp = (P'+P)e^t, ddotxp = (P''+2P'+P)e^t

Passo 4

Substituindo em ddotx-2dotx+x obtemos
ddotxp -2dotxp + xp = l[P''+2P'+P -2(P'+P)+Pr]e^t = l[P''r]e^t
Logo exigimos
P''(t) = t^2
Como
P'(t) = 4A t^3 +3B t^2+2C t, P''(t) = 12A t^2+6B t+2C,
igualamos coeficientes em 12A t^2+6B t+2C = t^2, o que dá
12A=1, 6B=0, 2C=0 ;Longrightarrow; A=tfrac112,;B=0,;C=0
Assim
xp(t) = 112,t^4e^t

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma de xh com xp:
x(t) = l(C1 + C2,tr)e^t + 112,t^4e^t = e^tl(C1 + C2,t + tfrac112t^4r)

Resposta

x(t) = e^tl(C1 + C2,t + tfrac112t^4r)

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