Resolva a edo, pelo método da variação dos paramêtros:
ddotx+x=e^t cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
ddotx+x=e^tcos(t)
pelo método da variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, depois usar as duas soluções fundamentais para montar a particular via variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
ddotx+x=0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo, a solução geral homogênea é
xh(t)=C1cos(t)+C2sin(t)

Passo 3

Tomamos as duas soluções fundamentais
y1(t)=cos(t), y2(t)=sin(t),
e escrevemos a particular no formato
xp(t)=u1(t)cos(t)+u2(t)sin(t),
onde u1 e u2 satisfazem o sistema
u1'(t),y1(t)+u2'(t),y2(t)=0, u1'(t),y1'(t)+u2'(t),y2'(t)=e^tcos(t)

Passo 4

O wronskiano das soluções é
W(t)= cos(t) & sin(t) -sin(t) & cos(t) =cos^2(t)+sin^2(t)=1
As fórmulas de variação de parâmetros ficam então
u1'(t)=-y2(t),g(t)W(t) =-sin(t),e^tcos(t), u2'(t)=y1(t),g(t)W(t) =cos(t),e^tcos(t),
com g(t)=e^tcos(t).

Passo 5

Calculamos as integrais:
u1(t)=-integral e^tsin(t)cos(t),dt =-tfrac12integral e^tsin(2t),dt,
u2(t)=integral e^tcos^2(t),dt =tfrac12integral e^t,dt+tfrac12integral e^tcos(2t),dt

Passo 6

Usando as fórmulas clássicas
integral e^tsin(2t),dt =e^t(sin(2t)-2cos(2t))5, integral e^tcos(2t),dt =e^t(cos(2t)+2sin(2t))5,
obtemos
u1(t) =-tfrac12e^t(sin(2t)-2cos(2t))5 =-e^t(sin(2t)-2cos(2t))10,
u2(t) =tfrac12e^t+tfrac12cdote^t(cos(2t)+2sin(2t))5 =e^t(5+cos(2t)+2sin(2t))10

Passo 7

A solução particular é
xp(t) =cos(t),u1(t)+sin(t),u2(t) =e^t10l[ -cos(t)l(sin(2t)-2cos(2t)r) +sin(t)l(5+cos(2t)+2sin(2t)r) r]
Simplificando o conteúdo entre colchetes, chega-se a
xp(t) =e^t5l(cos(t)+2sin(t)r)

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação é
x(t)=xh(t)+xp(t) =C1cos(t)+C2sin(t) +e^t5l(cos(t)+2sin(t)r)

Resposta

boxedx(t)=C1cos(t)+C2sin(t) +e^t5l(cos(t)+2sin(t)r)

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