Considere
Indique a alternativa CORRETA.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
e também diz que essa função é igual à derivada de
. O que a gente precisa fazer é verificar se essa função pode ser representada por uma série infinita da forma
quando
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser escrita como uma série geométrica. Sabemos que para
:
Isso acontece porque a série geométrica
converge para
quando
, e aqui
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada dessa série em relação a
. Vamos derivar cada termo da série:
Essa derivada nos dá a expressão para
.
Passo 4
Então, temos que:
Mas olha só, no enunciado a série começa em
. Vamos ajustar isso.
Passo 5
Note que quando
, o termo
é zero, então podemos começar a soma a partir de
sem mudar nada:
Resposta
A alternativa é CORRETA.