Considere
f(x)=2 x(1-x^2)^2=(11-x^2)^prime
Indique a alternativa CORRETA.
f(x)=sumn=1^infty 2 n x^2 n-1 para |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função e também diz que essa função é igual à derivada de . O que a gente precisa fazer é verificar se essa função pode ser representada por uma série infinita da forma quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função 11 - x^2 = sumn=0^infty x^2n pode ser escrita como uma série geométrica. Sabemos que para :
Isso acontece porque a série geométrica converge para quando , e aqui .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada dessa série em relação a ddx( sumn=0^infty x^2n ) = sumn=0^infty ddx(x^2n) = sumn=0^infty 2n x^2n-1 . Vamos derivar cada termo da série:
Essa derivada nos dá a expressão para .

Passo 4

Então, temos que:
f(x) = 2x(1 - x^2)^2 = ( 11 - x^2 )' = sumn=0^infty 2n x^2n-1
Mas olha só, no enunciado a série começa em . Vamos ajustar isso.

Passo 5

Note que quando f(x) = sumn=1^infty 2n x^2n-1 para |x| < 1 , o termo é zero, então podemos começar a soma a partir de sem mudar nada:

Resposta

A alternativa é CORRETA.

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