resolva os seguintes problemas de valor inicial x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0 y(1)=2, y^prime(1)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que você mandou. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
x^2 y'' + x y' + y = 0
com as condições iniciais e . Esse tipo de equação é chamado de Equação de Cauchy-Euler, que é uma forma especial de equação diferencial que a gente pode resolver assumindo soluções com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Cauchy-Euler. Ela tem a forma geral:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
onde y = x^m e são constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma:
onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar y = x^m para encontrar y' = m x^m-1 e y'' = m (m-1) x^m-2 :

Passo 4

Substituímos x^2 cdot m (m-1) x^m-2 + x cdot m x^m-1 + x^m = 0 , m (m-1) x^m + m x^m + x^m = 0 e x^m [m (m-1) + m + 1] = 0 na equação original:
m (m-1) + m + 1 = 0
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Como nunca é zero para , temos:

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
m^2 - m + m + 1 = 0
m^2 + 1 = 0
Então:
m^2 = -1
m = pm i

Passo 6

Com raízes complexas y(x) = C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x) , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando a condição inicial 2 = C1 cos(ln 1) + C2 sin(ln 1) :
2 = C1 cos(0) + C2 sin(0)
Como 2 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 :
y'(x) = ddx [2 cos(ln x) + C2 sin(ln x)]
y'(x) = 2 cdot (-sin(ln x)) cdot 1x + C2 cdot cos(ln x) cdot 1x
Então, y'(x) = -2 sin(ln x) + C2 cos(ln x)x .
Agora, vamos derivar 4 = -2 sin(ln 1) + C2 cos(ln 1)1 para encontrar 4 = -2 sin(0) + C2 cos(0) :
4 = 0 + C2 cdot 1
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Aplicando a condição inicial :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(x) = 2 cos(ln x) + 4 sin(ln x)

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