Beleza, vamos resolver o problema que você mandou. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
x^2 y'' + x y' + y = 0
com as condições iniciais e . Esse tipo de equação é chamado de Equação de Cauchy-Euler, que é uma forma especial de equação diferencial que a gente pode resolver assumindo soluções com potências de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma Equação de Cauchy-Euler. Ela tem a forma geral:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
onde y = x^m e são constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma:
onde é um número que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar y = x^m para encontrar y' = m x^m-1 e y'' = m (m-1) x^m-2 :
Passo 4
Substituímos x^2 cdot m (m-1) x^m-2 + x cdot m x^m-1 + x^m = 0 , m (m-1) x^m + m x^m + x^m = 0 e x^m [m (m-1) + m + 1] = 0 na equação original:
m (m-1) + m + 1 = 0
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Como nunca é zero para , temos:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
m^2 - m + m + 1 = 0
m^2 + 1 = 0
Então:
m^2 = -1
m = pm i
Passo 6
Com raízes complexas y(x) = C1 cos(ln x) + C2 sin(ln x) , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.