Resolva a EDO de segunda ordem linear, não homogênea e com coeficientes constantes abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que é linear, não homogênea e com coeficientes constantes. A equação que temos é:
Para resolver esse tipo de EDO, vamos precisar usar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, formamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{r x} $:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, temos duas raízes:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (
), supomos uma solução particular da forma:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na EDO original:
Expandindo e organizando os termos:
Agrupando os coeficientes de cada termo:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes de cada potência de $ x $:
- Para $ x^{2} $:
- Para $ x $:
- Termo constante:
Passo 6
Com os valores encontrados, a solução particular fica:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: