Resolva a EDO de segunda ordem linear, não homogênea e com coeficientes constantes abaixo.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=-3 x^2+x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que é linear, não homogênea e com coeficientes constantes. A equação que temos é:
y^prime prime + 2 y^prime - 3 y = -3 x^2 + x + 1
Para resolver esse tipo de EDO, vamos precisar usar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^prime prime + 2 y^prime - 3 y = 0
Para isso, formamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{r x} $:
y
Resolvendo essa equação quadrática:
e^r x
Assim, temos duas raízes:
r^2 + 2 r - 3 = 0
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 = -2 pm raiz162 = -2 pm 42

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( -3x^2 + x + 1), supomos uma solução particular da forma:
yp = A x^2 + B x + C
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = 2 A x + B
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na EDO original:
yp'' = 2 A
Expandindo e organizando os termos:
yp
Agrupando os coeficientes de cada termo:
yp'

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes correspondentes de cada potência de $ x $:
  1. Para $ x^{2} $:
x
  1. Para $ x $:
x^2
  1. Termo constante:
-3 A = -3 Rightarrow A = 1

Passo 6

Com os valores encontrados, a solução particular fica:
yp = x^2 + x + 1

Passo 7

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-3 x + x^2 + x + 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^x + C2 e^-3 x + x^2 + x + 1

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