Uma massa de
estica uma mola de
. Uma força externa de
age sobre o sistema. Se a massa é puxada
para baixo e depois solta, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Utilize
e lembre-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa de $ m = \frac{1}{3} $ kg que estica uma mola de comprimento $ L = 0,10 $ metros. Além disso, uma força externa $ F(t) = 5 \sin(5t) $ N está agindo no sistema. A massa é puxada para baixo em $ 0,1 $ metro e depois solta. Nosso objetivo aqui é determinar como a posição da massa varia com o tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico forçado, entender como a mola se comporta com a força aplicada, e resolver uma equação diferencial que descreve o movimento da massa. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica da mola, $ k $. A relação entre a força da gravidade e a mola no equilíbrio nos dá:
Onde:
- $ m = \frac{1}{3} $ kg
- $ g = 10 , m/s^2 $
- $ L = 0,10 $ m
Vamos calcular:
Então, $ k = \frac{100}{3} $ N/m.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento para a massa. A força total agindo na massa é a soma da força da mola, da força externa e da força da gravidade. Usando a segunda lei de Newton:
Substituindo os valores conhecidos:
Vamos simplificar multiplicando todos os termos por 3:
Essa é a nossa equação diferencial para a posição $ x(t) $ da massa ao longo do tempo.
Passo 4
Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma força externa forçada. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular da equação completa.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral da homogênea é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo forçado é $ 15 \sin(5t) $, tentamos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Usamos as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. As condições são:
- Quando $ t = 0 $, $ x = 0,1 $ m
- Quando $ t = 0 $, a velocidade $ \frac{dx}{dt} = 0 $ (já que a massa foi solta do repouso)
Aplicando $ t = 0 $:
Agora, derivamos $ x(t) $ para encontrar a velocidade:
Aplicando $ t = 0 $ e $ \frac{dx}{dt} = 0 $:
Passo 7
Substituindo $ A $ e $ B $ na solução geral:
Resposta
A posição da massa em qualquer instante de tempo é dada por: