Uma massa de m=1 / 3 kg estica uma mola de L=0,10 mt. Uma força externa de 5 sin 5 t N age sobre o sistema. Se a massa é puxada 0,1 mt para baixo e depois solta, determine a posição da massa em qualquer instante de tempo. Utilize g=10 mt / seg^2 e lembre-se que k=m g / L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa de $ m = \frac{1}{3} $ kg que estica uma mola de comprimento $ L = 0,10 $ metros. Além disso, uma força externa $ F(t) = 5 \sin(5t) $ N está agindo no sistema. A massa é puxada para baixo em $ 0,1 $ metro e depois solta. Nosso objetivo aqui é determinar como a posição da massa varia com o tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico forçado, entender como a mola se comporta com a força aplicada, e resolver uma equação diferencial que descreve o movimento da massa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica da mola, $ k $. A relação entre a força da gravidade e a mola no equilíbrio nos dá:
k
Onde:
  • $ m = \frac{1}{3} $ kg
  • $ g = 10 , m/s^2 $
  • $ L = 0,10 $ m
Vamos calcular:
k = m cdot gL
Então, $ k = \frac{100}{3} $ N/m.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento para a massa. A força total agindo na massa é a soma da força da mola, da força externa e da força da gravidade. Usando a segunda lei de Newton:
m cdot d^2xdt^2 = -k x + F(t)
Substituindo os valores conhecidos:
13 cdot d^2xdt^2 + 1003 x = 5 sin(5t)
Vamos simplificar multiplicando todos os termos por 3:
d^2xdt^2 + 100 x = 15 sin(5t)
Essa é a nossa equação diferencial para a posição $ x(t) $ da massa ao longo do tempo.

Passo 4

Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma força externa forçada. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e uma solução particular da equação completa.
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
d^2xdt^2 + 100 x = 0
A solução geral da homogênea é:
xh(t) = A cos(10t) + B sin(10t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo forçado é $ 15 \sin(5t) $, tentamos uma solução da forma:
15 sin(5t)
Derivando:
xp(t) = C sin(5t) + D cos(5t)
dxpdt = 5C cos(5t) - 5D sin(5t)
Substituindo na equação diferencial:
d^2xpdt^2 = -25C sin(5t) - 25D cos(5t)
Simplificando:
-25C sin(5t) - 25D cos(5t) + 100(C sin(5t) + D cos(5t)) = 15 sin(5t)
Igualando os coeficientes:
(75C) sin(5t) + (75D) cos(5t) = 15 sin(5t)
75C = 15 implies C = 1575 = 15
Então, a solução particular é:
75D = 0 implies D = 0

Passo 6

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
x(t) = xh(t) + xp(t) = A cos(10t) + B sin(10t) + 15 sin(5t)
Usamos as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. As condições são:
  • Quando $ t = 0 $, $ x = 0,1 $ m
  • Quando $ t = 0 $, a velocidade $ \frac{dx}{dt} = 0 $ (já que a massa foi solta do repouso)
Aplicando $ t = 0 $:
A
Agora, derivamos $ x(t) $ para encontrar a velocidade:
B
t = 0
Aplicando $ t = 0 $ e $ \frac{dx}{dt} = 0 $:
x = 0,1

Passo 7

Substituindo $ A $ e $ B $ na solução geral:
A

Resposta

A posição da massa em qualquer instante de tempo é dada por:
x(t) = 0,1 cos(10t) - 110 sin(10t) + 15 sin(5t)

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