g(t)=\left\{\begin{array}{ccc} 0, & \text { se } & 0 \leq t<4 \\\ (t-4) / 4, & \text { se } & 4 \leq t<8 \\\\ 1, & \text { se } & t \geq 8 \end{array}\right.
a) Faça o gráfico da função g(t).
b) Descreva a função g(t) com o auxílio de funções degraus apropriadas.
c) Calcule a transformada de Laplace da função g(t).
Descrever g(t) usando funções degrau (função de Heaviside) apropriadas.
Calcular a transformada de Laplace de g(t).
Informações relevantes que temos:
Em t\in[0,4), g(t)=0.
Em t\in[4,8), g(t) é uma reta que começa em t=4 com valor 0 e em t=8 tem valor 1 (porque (8-4)/4=1).
Para t\ge 8, g(t)=1.]
Passo 2
Fazer o gráfico de g(t) (passo-a-passo para desenhar):
Marque o eixo horizontal t (a partir de t=0) e o eixo vertical com valores de g.
Para 0\le t<4: coloque a função igual a 0 (no eixo horizontal). Em t=0 até pouco antes de 4 a curva é a linha horizontal g(t)=0.
Em t=4: o valor da peça seguinte é (4-4)/4=0. Portanto a função é contínua em t=4 e o ponto (4,0) está preenchido (valor igual a zero).
Para 4\le t<8: a função é a reta g(t)=\dfrac{t-4}{4}. Essa reta tem inclinação \dfrac{1}{4}. Em t=8 a reta atinge g(8^-)=1. Desenhe a reta ligando (4,0) a (8,1).
Em t=8: pela definição g(8)=1. Então em t=8 o valor é 1 (ponto preenchido).
Para t>8: a função é constante g(t)=1 (linha horizontal y=1).
Resumo visual (descrição): linha em zero até t=4, depois uma rampa linear subindo com inclinação 1/4 até atingir 1 em t=8, e depois linha horizontal em 1 para a direita.
Passo 3
Representação com degraus (Heaviside). Primeiro, definição e ideia:
A função degrau deslocada é u(t-a)\) definida por
\[u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\[4pt]1,&t\ge a.\end{cases}
Para construir uma função que aparece só a partir de t=a\] com forma \(f(t-a), usa-se f(t-a)\,u(t-a). A propriedade útil para a Laplace será explicada depois.
Construção de g(t):
A parte não nula começa em t=4. A rampa entre 4 e 8 pode ser escrita como \dfrac{t-4}{4} ligada ao degrau em t=4, ou seja \dfrac{t-4}{4}\,u(t-4). Mas isso manteria a rampa ativa para t\ge 8, então é preciso desligá-la em t=8.
Para desligar a rampa a partir de t=8, subtrai-se a mesma expressão multiplicada por u(t-8).
Finalmente, para t\ge 8 há um piso igual a 1, que se adiciona com u(t-8).
Portanto uma expressão direta e limpa é
g(t)=\frac{t-4}{4}\big(u(t-4)-u(t-8)\big)+u(t-8).
Explicação rápida da fórmula:
Para t<4 todos os u são zero e g(t)=0.
Para 4\le t<8: u(t-4)=1, u(t-8)=0, então g(t)=(t-4)/4.
Para t\ge 8: u(t-4)=u(t-8)=1, o primeiro termo cancela (u(t-4)-u(t-8)=0) e sobra g(t)=1.]
Passo 4
Cálculo da transformada de Laplace de g(t). Vou usar a forma encontrada com degraus e a propriedade de deslocamento:
Propriedade de deslocamento (teorema do degrau): se f(t) tem transformada \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}F(s).
Aqui f(t-a)\,u(t-a) está deslocada por a; a transformada de f sem deslocamento aparece multiplicada por e^{-as}.
Aplicando ao nosso g(t):
g(t)=\frac{t-4}{4}\big(u(t-4)-u(t-8)\big)+u(t-8).
Calcule a transformada termo a termo.
Primeiro termo: \dfrac{t-4}{4}u(t-4).
Escrever como h(t-4)u(t-4) com h(\tau)=\dfrac{\tau}{4}.
A transformada de h(t) (isto é, de \dfrac{t}{4}) é \dfrac{1}{4}\mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{1}{4s^2}.
Pelo teorema do deslocamento, \mathcal{L}\{\dfrac{t-4}{4}u(t-4)\}=e^{-4s}\cdot\dfrac{1}{4s^2}.
Segundo termo (subtraído): \dfrac{t-4}{4}u(t-8).
Escrever t-4=(t-8)+4. Então \dfrac{t-4}{4}u(t-8)=\dfrac{t-8}{4}u(t-8)+u(t-8).
Use o teorema do deslocamento com a=8.
\mathcal{L}\{\dfrac{t-8}{4}u(t-8)\}=e^{-8s}\cdot\dfrac{1}{4s^2} (pois \mathcal{L}\{t\}=1/s^2 e factor 1/4).
(Se quiser confirmar por integração direta: separar \int_4^8 e^{-st}\dfrac{t-4}{4}\,dt + \int_8^\infty e^{-st}\,dt leva ao mesmo resultado após integrar por partes — a forma com degraus e o teorema do deslocamento é mais rápida e limpa.)
Resposta
(a) A função é g(t)=0 para 0\le t<4; é uma rampa linear de inclinação \tfrac{1}{4} ligando (4,0) a (8,1) para 4\le t<8; e é constante g(t)=1 para t\ge 8.