Resolva a EDO utilizando o MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa EDO. Informação relevante: não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias. Dados úteis visíveis no enunciado: o operador linear é
(onde
); o termo não-homogêneo tem duas parcelas:
e
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução complementar (solução da equação homogênea) resolvendo a equação característica associada à homogênea
Fatorando, temos
logo as raízes são
. Cada raiz simples dá uma solução exponencial da forma
. Portanto a solução complementar é
onde
são constantes arbitrárias.
Observação importante para o método dos coeficientes a determinar: como
já aparece na solução homogênea (raiz
), a parte
do lado direito é ressonante e exige multiplicar o palpite por
(explico isso na parte dos palpites).
Passo 3
Escolhemos agora um palpite para a solução particular relativa ao termo
. Regra prática do método dos coeficientes a determinar:
- Se o termo da direita é
com polinômio de grau , então tentamos com polinômio de grau . - Se
é raiz da equação característica de multiplicidade , multiplicamos o palpite por .
Aqui
é constante (grau
),
é raiz simples (
). Então o palpite para essa parcela é
onde
é constante a determinar.
Calculamos as derivadas necessárias (vou mostrar passo a passo):
Derivando:
Derivando de novo:
Terceira derivada:
Agora aplicamos o operador
sobre
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto
Esse resultado deve igualar à parcela
do lado direito, logo
Assim
Passo 4
Agora tratamos a parcela
. Pelo método dos coeficientes a determinar, para termos trigonométricos do tipo
e
que não são ressonantes com raízes puramente imaginárias da característica (aqui não há
), usamos o palpite
com
constantes a determinar.
Calculamos derivadas (mostro cada uma):
Aplicando o operador:
Agrupando termos:
Isso deve ser igual a
, ou seja
. Igualando coeficientes de
e
:
Logo
Portanto
Passo 5
A solução particular total é a soma das partes que encontramos:
A solução geral da equação (soma da complementar com a particular) é então