(3,0) Resolva a EDO utilizando o MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR:
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}-9 \frac{d y}{d x}=36 e^{3 x}+\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea
\frac{d^{3}y}{dx^{3}} - 9\frac{dy}{dx} = 36e^{3x} + \cos(2x).
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa EDO. Informação relevante: não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias. Dados úteis visíveis no enunciado: o operador linear é D^{3}-9D (onde D=\frac{d}{dx}); o termo não-homogêneo tem duas parcelas: 36e^{3x} e \cos(2x).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução complementar (solução da equação homogênea) resolvendo a equação característica associada à homogênea
r^{3}-9r=0.
Fatorando, temos
r(r^{2}-9)=r(r-3)(r+3)=0,
logo as raízes são r=0,\;r=3,\;r=-3. Cada raiz simples dá uma solução exponencial da forma e^{rx}. Portanto a solução complementar é
y_c(x)=C_{1}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Observação importante para o método dos coeficientes a determinar: como e^{3x} já aparece na solução homogênea (raiz r=3), a parte 36e^{3x} do lado direito é ressonante e exige multiplicar o palpite por x (explico isso na parte dos palpites).

Passo 3

Escolhemos agora um palpite para a solução particular relativa ao termo 36e^{3x}. Regra prática do método dos coeficientes a determinar:
  • Se o termo da direita é P(x)e^{\alpha x} com P(x) polinômio de grau m, então tentamos \tilde{Q}(x)e^{\alpha x} com \tilde{Q} polinômio de grau m.
  • Se \alpha é raiz da equação característica de multiplicidade s, multiplicamos o palpite por x^{s}.
Aqui P(x) é constante (grau 0), \alpha=3 é raiz simples ( s=1). Então o palpite para essa parcela é
y_{p1}(x)=C x e^{3x},
onde C é constante a determinar.
Calculamos as derivadas necessárias (vou mostrar passo a passo):
y_{p1}=C x e^{3x}.
Derivando:
y_{p1}' = C e^{3x} + 3C x e^{3x} = C(1+3x)e^{3x}.
Derivando de novo:
y_{p1}'' = C\big(3 + 3(1+3x)\big)e^{3x} = C(3 + 3 + 9x)e^{3x} = C(6+9x)e^{3x}.
Terceira derivada:
y_{p1}''' = C\big(9 + 3(6+9x)\big)e^{3x} = C(9 + 18 + 27x)e^{3x} = C(27+27x)e^{3x}.
Agora aplicamos o operador D^{3}-9D sobre y_{p1}:
y_{p1}''' - 9y_{p1}' = C(27+27x)e^{3x} - 9C(1+3x)e^{3x}.
Simplificando dentro dos colchetes:
(27+27x) - 9(1+3x) = 27+27x -9 -27x = 18.
Portanto
y_{p1}''' - 9y_{p1}' = 18C e^{3x}.
Esse resultado deve igualar à parcela 36e^{3x} do lado direito, logo
18C = 36 \implies C = 2.
Assim
y_{p1}(x)=2x e^{3x}.

Passo 4

Agora tratamos a parcela \cos(2x). Pelo método dos coeficientes a determinar, para termos trigonométricos do tipo \cos(2x) e \sin(2x) que não são ressonantes com raízes puramente imaginárias da característica (aqui não há \pm 2i), usamos o palpite
y_{p2}(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x),
com A,B constantes a determinar.
Calculamos derivadas (mostro cada uma):
y_{p2}' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x).
y_{p2}'' = -4A\cos(2x) -4B\sin(2x).
y_{p2}''' = 8A\sin(2x) -8B\cos(2x).
Aplicando o operador:
y_{p2}''' - 9y_{p2}' = \big(8A\sin(2x) -8B\cos(2x)\big) -9\big(-2A\sin(2x) + 2B\cos(2x)\big).
Agrupando termos:
= \big(8A +18A\big)\sin(2x) + \big(-8B -18B\big)\cos(2x)
= 26A\sin(2x) -26B\cos(2x).
Isso deve ser igual a \cos(2x), ou seja 1\cdot\cos(2x) + 0\cdot\sin(2x). Igualando coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x):
-26B = 1 \quad\text{e}\quad 26A = 0.
Logo
A=0,\qquad B=-\frac{1}{26}.
Portanto
y_{p2}(x)=0\cdot\cos(2x)-\frac{1}{26}\sin(2x) = -\frac{1}{26}\sin(2x).

Passo 5

A solução particular total é a soma das partes que encontramos:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x) = 2x e^{3x} - \frac{1}{26}\sin(2x).
A solução geral da equação (soma da complementar com a particular) é então
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_{1}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-3x}+2x e^{3x}-\frac{1}{26}\sin(2x).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-3x}+2x e^{3x}-\frac{1}{26}\sin(2x)

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