(3,5) Resolver a EDO:
y^{\prime \prime}+4 y=4 \operatorname{sen}^{2} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''+4y=4\operatorname{sen}^2 2x.
Informações dadas:
\text{Equação: } y''+4y=4\operatorname{sen}^2 2x.çã
\text{Objetivo: encontrar a solução geral } y(x).çã

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo do lado direito usando a identidade trigonométrica para \operatorname{sen}^2:
\operatorname{sen}^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=2x (pois temos \operatorname{sen}^2 2x):
\operatorname{sen}^2 2x=\frac{1-\cos 4x}{2}.
Multiplicando por 4 (do lado direito da EDO):
4\operatorname{sen}^2 2x=4\cdot\frac{1-\cos 4x}{2}=2-2\cos 4x.
Logo a EDO fica
y''+4y=2-2\cos 4x.

Passo 3

Resolvemos primeiro a equação homogênea associada
y''+4y=0.
Construímos o polinômio característico \;r^2+4=0\;. Suas raízes são
r=\pm 2i.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \omega. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos 2x + C_2\sin 2x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação não homogênea
y''+4y=2-2\cos 4x.
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: escrevemos y_p como soma de termos que correspondem aos termos do lado direito. O lado direito tem uma constante 2 e um termo -2\cos 4x. Logo supomos
y_p=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} trata da constante e y_{p2} trata de -2\cos 4x.
Observação importante sobre ressonância: se algum termo do forçamento coincidisse com a solução da homogênea (por exemplo \cos 2x ou \sin 2x), teríamos que multiplicar a tentativa por x. Aqui a homogênea tem frequência 2 e o termo forçante tem frequência 4 e uma constante (frequência 0), então não há ressonância e podemos usar tentativas simples.

Passo 5

Tratando o termo constante 2. Fazemos a tentativa y_{p1}=A (constante). Então y_{p1}''=0. Substituindo na equação:
0+4A=2.
Assim
A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto
y_{p1}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Tratando o termo -2\cos 4x. Fazemos a tentativa de forma trigonométrica
y_{p2}=a\cos 4x + b\sin 4x,
onde a e b são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_{p2}'=-4a\sin 4x + 4b\cos 4x,
y_{p2}''=-16a\cos 4x -16b\sin 4x.
Agora substituímos em y''+4y:
y_{p2}''+4y_{p2}=(-16a\cos 4x -16b\sin 4x)+4(a\cos 4x + b\sin 4x).
Agrupando termos:
y_{p2}''+4y_{p2}=(-16a+4a)\cos 4x +(-16b+4b)\sin 4x
= -12a\cos 4x -12b\sin 4x.
Queremos que isso seja igual a -2\cos 4x. Logo igualando coeficientes de \cos 4x e \sin 4x:
-12a=-2,\qquad -12b=0.
Logo
a=\frac{-2}{-12}=\frac{1}{6},\qquad b=0.
Portanto
y_{p2}=\frac{1}{6}\cos 4x.

Passo 7

A solução particular total é
y_p=y_{p1}+y_{p2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cos 4x.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\cos 4x.

Resposta

y(x)=C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\cos 4x

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