Resolver a EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo do lado direito usando a identidade trigonométrica para
:
Aplicando com
(pois temos
):
Multiplicando por
(do lado direito da EDO):
Logo a EDO fica
Passo 3
Resolvemos primeiro a equação homogênea associada
Construímos o polinômio característico
. Suas raízes são
Quando as raízes são puramente imaginárias
a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação não homogênea
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: escrevemos
como soma de termos que correspondem aos termos do lado direito. O lado direito tem uma constante
e um termo
. Logo supomos
onde
trata da constante e
trata de
.
Observação importante sobre ressonância: se algum termo do forçamento coincidisse com a solução da homogênea (por exemplo
ou
), teríamos que multiplicar a tentativa por
. Aqui a homogênea tem frequência
e o termo forçante tem frequência
e uma constante (frequência
), então não há ressonância e podemos usar tentativas simples.
Passo 5
Tratando o termo constante
. Fazemos a tentativa
(constante). Então
. Substituindo na equação:
Assim
Portanto
Passo 6
Tratando o termo
. Fazemos a tentativa de forma trigonométrica
onde
e
são constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Agora substituímos em
:
Agrupando termos:
Queremos que isso seja igual a
. Logo igualando coeficientes de
e
:
Logo
Portanto
Passo 7
A solução particular total é
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular: