Resolva a EDO
x^prime prime+9 x=3 sec 3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não–homogênea
x'' + 9,x = 3,sec(3t)
O conteúdo necessário é:
– solução geral da parte homogênea com coeficientes constantes;
– método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
x'' + 9,x = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 Longrightarrow r = pm 3,i
Logo as soluções fundamentais são
y1(t) = cos(3t), y2(t) = sin(3t)
e a solução geral homogênea é
xh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Para achar uma solução particular xp usamos variação de parâmetros. Definimos
xp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(t) = cos(3t) & sin(3t) -3sin(3t) & 3cos(3t) = 3cos^2(3t) + 3sin^2(3t) = 3

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(t) = -y2(t),f(t)W(t), u2'(t) = y1(t),f(t)W(t),
onde f(t)=3sec(3t). Assim
u1'(t) = -sin(3t)cdot 3sec(3t)3 = -sin(3t)sec(3t) = -tan(3t),
u2'(t) = cos(3t)cdot 3sec(3t)3 = cos(3t)sec(3t) = 1

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = integral -tan(3t),dt = -integral tan(3t),dt = -l(-tfrac13lnl|cos(3t)r|r) = tfrac13lnl|cos(3t)r|,
u2(t) = integral 1,dt = t

Passo 6

A solução particular é
xp(t) = u1(t),cos(3t) + u2(t),sin(3t) = 13cos(3t),lnl|cos(3t)r| + t,sin(3t)

Passo 7

A solução geral da EDO é
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + t,sin(3t) + 13cos(3t),lnl|cos(3t)r|

Resposta

x(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + t,sin(3t) + 13cos(3t),lnl|cos(3t)r|

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