Resolva a equação difrencial
x^prime prime-1t x^prime+1t^2 x=0

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO
x'' - 1tx' + 1t^2x = 0
Esse tipo de equação é do tipo Cauchy–Euler, e vamos precisar multiplicar por t^2 para usar a teoria de equações de Euler.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por t^2, obtemos
t^2 x'' - t x' + x = 0
No formato padrão
t^2 x'' + a,t,x' + b,x = 0,
identificamos a = -1 e b = 1.

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada:
r(r-1) + a,r + b = 0
Substituindo a=-1 e b=1
r(r-1) - r + 1 = 0 implies r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo
(r-1)^2 = 0
vemos que há raiz dupla r=1. Pela teoria de Euler, as duas soluções independentes são
x1(t) = t^r = t^1 = t,
x2(t) = t^r ln t = t ln t

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear dessas duas soluções independentes, logo
x(t) = C1,t + C2,tln t

Resposta

x(t) = C1,t + C2,tln t

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