Resolva a EDO:
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 9y = 0
O método padrão para esse tipo de EDO é usar o polinômio característico associado.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y = e^rx. Então
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo na EDO, obtemos
r^2 e^rx - 6r e^rx + 9 e^rx = 0
Como e^rxneq 0, podemos dividir por ele e ficar com o polinômio característico
r^2 - 6r + 9 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 6r + 9 = 0
reconhecemos que é um quadrado perfeito:
(r-3)^2 = 0,
logo a raiz é dupla, r = 3 (multiplicidade 2).

Passo 4

Quando há raiz dupla r=3, as duas soluções independentes da EDO são
e^3x
e
x e^3x.
Portanto, a solução geral é a combinação linear dessas duas:
y(x) = C1 e^3x + C2,x,e^3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2,x,e^3x

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