uma base do \mathbb{C}-espaço vetorial \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}).
(a) (1 ponto) Prove que a aplicação a d_{E}: \mathfrak{s} \mathfrak{l}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathfrak{s} \mathfrak{l}_{2}(\mathbb{C}) definida por
a d_{E}(X)=E X-X E
é uma transformação linear.
(b) ( 1 ponto) Determine se a d_{E} é ou não injetora
(c) ( 1 ponto) Determine se a d_{E} é ou não sobrejetora
(d) ( 1 ponto) Determine a matriz associada \left[a d_{E}\right]_{B}^{B}.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C})=\{X\in M_{2\times2}(\mathbb{C}):\operatorname{tr} X=0\} e a base
Pede-se:
(a) mostrar que a aplicação \operatorname{ad}_{E}:\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C})\to\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}) dada por \operatorname{ad}_{E}(X)=E X - X E é linear;
(b) decidir se \operatorname{ad}_{E} é injetora;
(c) decidir se \operatorname{ad}_{E} é sobrejetora;
(d) determinar a matriz de \operatorname{ad}_{E} na base B, isto é \left[\operatorname{ad}_{E}\right]_{B}^{B}.]
Passo 2
O que significa ser transformação linear? Vou relembrar de modo bem direto: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores X,Y e escalares a,b vale
T(aX+bY)=aT(X)+bT(Y).
Vou aplicar essa definição a \operatorname{ad}_{E}. Tome X,Y\in\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}) e a,b\in\mathbb{C}. Então
\operatorname{ad}_{E}(aX+bY)=E(aX+bY)-(aX+bY)E.
Como multiplicação de matrizes distribui sobre soma e extrai escalares, isto é
Portanto \operatorname{ad}_{E} satisfaz a propriedade de linearidade.
Passo 3
Para responder às perguntas (b)-(d) preciso conhecer a ação de \operatorname{ad}_{E} sobre os vetores da base B. Vou calcular \operatorname{ad}_{E}(E), \operatorname{ad}_{E}(H) e \operatorname{ad}_{E}(F) explícita e passo a passo.
Primeiro calcule E\cdot E e E\cdot E (é a mesma coisa): claramente
Agora uso esses resultados para construir a matriz de \operatorname{ad}_{E} relativa à base B=(E,H,F). A regra prática: a j-ésima coluna da matriz é a coordenada de \operatorname{ad}_{E} aplicada ao j-ésimo vetor da base, escrita nas coordenadas de B.
Para E (primeiro vetor): \operatorname{ad}_{E}(E)=0=0\cdot E+0\cdot H+0\cdot F. Coluna 1 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para H (segundo vetor): \operatorname{ad}_{E}(H)=-2E=-2\cdot E+0\cdot H+0\cdot F. Coluna 2 é \begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para F (terceiro vetor): \operatorname{ad}_{E}(F)=H=0\cdot E+1\cdot H+0\cdot F. Coluna 3 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Decidir se \operatorname{ad}_{E} é injetora. Lembrete didático: uma transformação linear é injetora se seu núcleo (\ker) contém só o vetor zero. Ou seja, T é injetora \iff\ker T=\{0\}.
Já vimos que \operatorname{ad}_{E}(E)=0 com E\neq 0. Logo E\in\ker(\operatorname{ad}_{E}) e o núcleo não é trivial. Portanto \operatorname{ad}_{E} não é injetora.
Se quisermos, calculamos explicitamente o núcleo: suponha X=aE+bH+cF e imponha \operatorname{ad}_{E}(X)=0. Usando linearidade e imagens:
Para ser zero, os coeficientes devem ser nulos, então -2b=0 e c=0, ou seja b=c=0 e a livre. Assim \ker(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{E\}, dimensão 1. Confirma não-injetividade.
Passo 6
Decidir se \operatorname{ad}_{E} é sobrejetora. Lembrete didático: uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é sobrejetora se sua imagem tem dimensão igual à dimensão do espaço de chegada; aqui \dim\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C})=3.
A imagem de \operatorname{ad}_{E} é gerada pelas colunas que calculamos, isto é \operatorname{Im}(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{0,-2E,H\}=\operatorname{span}\{E,H\}, que tem dimensão 2. Como 2<3, a imagem não é todo \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}). Portanto \operatorname{ad}_{E} não é sobrejetora.
Também se vê isso pela matriz: \left[\operatorname{ad}_{E}\right]_{B}^{B} tem posto 2, não 3, então não é invertível nem sobrejetora.
Resposta
(a) \operatorname{ad}_{E} é linear.
(b) \operatorname{ad}_{E} não é injetora ( \ker(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{E\} ).
(c) \operatorname{ad}_{E} não é sobrejetora ( \operatorname{Im}(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{E,H\} ).
(d)