(4 pontos) Sejam \mathfrak{s} \mathfrak{l}_{2}(\mathbb{C})=\left\{X \in M_{2 \times 2}(\mathbb{C}): \operatorname{tr} X=0\right\} e
B=\left\{E=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right), H=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right), F=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right\}
uma base do \mathbb{C}-espaço vetorial \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}).
(a) (1 ponto) Prove que a aplicação a d_{E}: \mathfrak{s} \mathfrak{l}_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathfrak{s} \mathfrak{l}_{2}(\mathbb{C}) definida por
a d_{E}(X)=E X-X E
é uma transformação linear.
(b) ( 1 ponto) Determine se a d_{E} é ou não injetora
(c) ( 1 ponto) Determine se a d_{E} é ou não sobrejetora
(d) ( 1 ponto) Determine a matriz associada \left[a d_{E}\right]_{B}^{B}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C})=\{X\in M_{2\times2}(\mathbb{C}):\operatorname{tr} X=0\} e a base
B=\left\{\,E=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\; H=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},\; F=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\,\right\}.
Pede-se:
(a) mostrar que a aplicação \operatorname{ad}_{E}:\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C})\to\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}) dada por \operatorname{ad}_{E}(X)=E X - X E é linear;
(b) decidir se \operatorname{ad}_{E} é injetora;
(c) decidir se \operatorname{ad}_{E} é sobrejetora;
(d) determinar a matriz de \operatorname{ad}_{E} na base B, isto é \left[\operatorname{ad}_{E}\right]_{B}^{B}.]

Passo 2

O que significa ser transformação linear? Vou relembrar de modo bem direto: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores X,Y e escalares a,b vale
T(aX+bY)=aT(X)+bT(Y).
Vou aplicar essa definição a \operatorname{ad}_{E}. Tome X,Y\in\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}) e a,b\in\mathbb{C}. Então
\operatorname{ad}_{E}(aX+bY)=E(aX+bY)-(aX+bY)E.
Como multiplicação de matrizes distribui sobre soma e extrai escalares, isto é
E(aX+bY)=a(EX)+b(EY),\qquad (aX+bY)E=a(XE)+b(YE).
Subtraindo,
\operatorname{ad}_{E}(aX+bY)=a(EX-XE)+b(EY-YE)=a\,\operatorname{ad}_{E}(X)+b\,\operatorname{ad}_{E}(Y).
Portanto \operatorname{ad}_{E} satisfaz a propriedade de linearidade.

Passo 3

Para responder às perguntas (b)-(d) preciso conhecer a ação de \operatorname{ad}_{E} sobre os vetores da base B. Vou calcular \operatorname{ad}_{E}(E), \operatorname{ad}_{E}(H) e \operatorname{ad}_{E}(F) explícita e passo a passo.
Primeiro calcule E\cdot E e E\cdot E (é a mesma coisa): claramente
E E = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Logo
\operatorname{ad}_{E}(E)=E E - E E = 0.
Agora E H e H E. Primeiro
E H = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot(-1)\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=-E.
E
H E = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}=E.
Subtraindo,
\operatorname{ad}_{E}(H)=E H - H E = -E - E = -2E.
Finalmente E F e F E. Calcule
E F = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
F E = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Subtraindo,
\operatorname{ad}_{E}(F)=E F - F E =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=H.
Resumo das imagens na base:
\operatorname{ad}_{E}(E)=0,\qquad \operatorname{ad}_{E}(H)=-2E,\qquad \operatorname{ad}_{E}(F)=H.]

Passo 4

Agora uso esses resultados para construir a matriz de \operatorname{ad}_{E} relativa à base B=(E,H,F). A regra prática: a j-ésima coluna da matriz é a coordenada de \operatorname{ad}_{E} aplicada ao j-ésimo vetor da base, escrita nas coordenadas de B.
  • Para E (primeiro vetor): \operatorname{ad}_{E}(E)=0=0\cdot E+0\cdot H+0\cdot F. Coluna 1 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para H (segundo vetor): \operatorname{ad}_{E}(H)=-2E=-2\cdot E+0\cdot H+0\cdot F. Coluna 2 é \begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para F (terceiro vetor): \operatorname{ad}_{E}(F)=H=0\cdot E+1\cdot H+0\cdot F. Coluna 3 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto a matriz é
\left[\operatorname{ad}_{E}\right]_{B}^{B} =\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Decidir se \operatorname{ad}_{E} é injetora. Lembrete didático: uma transformação linear é injetora se seu núcleo ( \ker) contém só o vetor zero. Ou seja, T é injetora \iff \ker T=\{0\}.
Já vimos que \operatorname{ad}_{E}(E)=0 com E\neq 0. Logo E\in\ker(\operatorname{ad}_{E}) e o núcleo não é trivial. Portanto \operatorname{ad}_{E} não é injetora.
Se quisermos, calculamos explicitamente o núcleo: suponha X=aE+bH+cF e imponha \operatorname{ad}_{E}(X)=0. Usando linearidade e imagens:
\operatorname{ad}_{E}(X)=a\cdot 0 + b\cdot(-2E) + c\cdot H = -2b\,E + c\,H.
Para ser zero, os coeficientes devem ser nulos, então -2b=0 e c=0, ou seja b=c=0 e a livre. Assim \ker(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{E\}, dimensão 1. Confirma não-injetividade.

Passo 6

Decidir se \operatorname{ad}_{E} é sobrejetora. Lembrete didático: uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é sobrejetora se sua imagem tem dimensão igual à dimensão do espaço de chegada; aqui \dim\mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C})=3.
A imagem de \operatorname{ad}_{E} é gerada pelas colunas que calculamos, isto é \operatorname{Im}(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{0,-2E,H\}=\operatorname{span}\{E,H\}, que tem dimensão 2. Como 2<3, a imagem não é todo \mathfrak{s l}_{2}(\mathbb{C}). Portanto \operatorname{ad}_{E} não é sobrejetora.
Também se vê isso pela matriz: \left[\operatorname{ad}_{E}\right]_{B}^{B} tem posto 2, não 3, então não é invertível nem sobrejetora.

Resposta

(a) \operatorname{ad}_{E} é linear.
(b) \operatorname{ad}_{E} não é injetora ( \ker(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{E\} ).
(c) \operatorname{ad}_{E} não é sobrejetora ( \operatorname{Im}(\operatorname{ad}_{E})=\operatorname{span}\{E,H\} ).
(d)
\left[\operatorname{ad}_{E}\right]_{B}^{B} =\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

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