Encontre a solução da equação x y\left(1+x y^{2}\right) \frac{d x}{d y}=1 sujeita a condiçã inicial y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y\bigl(1+x y^{2}\bigr)\frac{d x}{d y}=1
e a condição inicial y(1)=0. As informações relevantes são:
  • A equação relaciona x, y e a derivada \dfrac{d x}{d y}.
  • A condição inicial é \;y(1)=0, ou seja, no ponto x=1 temos y=0.
  • O que se pede é a solução y que satisfaz a equação e passa por (x,y)=(1,0).

Passo 2

Primeiro passo prático: inverter a derivada para escrever a equação na forma com \dfrac{dy}{dx}. Da equação dada temos
\frac{d x}{d y}=\frac{1}{x\,y\bigl(1+x y^{2}\bigr)}.
Tomando recíproco (quando faz sentido) obtemos
\frac{d y}{d x}=x\,y\bigl(1+x y^{2}\bigr).
Essa forma é mais conveniente porque a condição inicial está dada em termos de x ( y(1)=0 ). Note que a inversão é válida onde o denominador não se anula; vamos examinar a possibilidade de y\equiv 0 separadamente.

Passo 3

Verificação de uma solução óbvia: teste y(x)\equiv 0.
  • Se \;y(x)\equiv 0, então \dfrac{dy}{dx}=0.
  • No lado direito temos x\cdot 0\bigl(1+x\cdot 0^{2}\bigr)=0.
    Portanto \dfrac{dy}{dx}=0 é satisfeito, ou seja \;y\equiv 0 é de fato uma solução da equação diferencial.
    Além disso \;y\equiv 0 satisfaz a condição inicial y(1)=0.

Passo 4

Agora precisamos garantir que não existe outra solução passando por (1,0). Para isso usamos um resultado padrão sobre unicidade de soluções (teorema de existência e unicidade estilo Picard–Lindelöf): se a função f(x,y) definida por o lado direito da equação
\frac{dy}{dx}=f(x,y)
e sua derivada parcial \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Aqui temos
f(x,y)=x\,y\bigl(1+x y^{2}\bigr)=x y + x^{2} y^{3}.
Calcule a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=x + 3 x^{2} y^{2}.
Ambas as funções f(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y} são polinômios em x e y, portanto são contínuas em toda a reta. Em particular são contínuas numa vizinhança do ponto (1,0). Pelo teorema de unicidade, existe uma única solução da equação diferencial que satisfaz y(1)=0.

Passo 5

Conclusão lógica: já encontramos uma solução que satisfaz a condição inicial, \;y\equiv 0, e pela unicidade essa é a única solução que passa por (1,0). Logo a solução do problema com a condição dada é a solução identicamente nula.

Passo 6

Se quisermos achar as soluções que não são identicamente zero, uma abordagem é inverter como fizemos e obter
\frac{dy}{dx}=x y + x^{2} y^{3},
que é uma equação de Bernoulli com expoente 3. A substituição z=y^{-2} transforma em uma equação linear em z:
\frac{dz}{dx}+2x z = -2x^{2},
cuja solução geral pode ser obtida por fator integrante \mu(x)=e^{x^{2}}. A integral que aparece envolve \int e^{x^{2}}dx, que não tem primitiva elementar, e portanto as soluções não nulas ficam expressas implicitamente usando essa integral não elementar. Mas esta linha é apenas para estudo adicional — para a condição inicial dada a única solução relevante é a solução trivial mostrada acima.

Resposta

y(x)\equiv 0

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