Encontre a solução da equação
sujeita a condiçã inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição inicial
. As informações relevantes são:
- A equação relaciona
, e a derivada . - A condição inicial é
, ou seja, no ponto temos . - O que se pede é a solução
que satisfaz a equação e passa por .
Passo 2
Primeiro passo prático: inverter a derivada para escrever a equação na forma com
. Da equação dada temos
Tomando recíproco (quando faz sentido) obtemos
Essa forma é mais conveniente porque a condição inicial está dada em termos de
(
). Note que a inversão é válida onde o denominador não se anula; vamos examinar a possibilidade de
separadamente.
Passo 3
Verificação de uma solução óbvia: teste
.
- Se
, então . - No lado direito temos
.
Portantoé satisfeito, ou seja é de fato uma solução da equação diferencial.
Além dissosatisfaz a condição inicial .
Passo 4
Agora precisamos garantir que não existe outra solução passando por
. Para isso usamos um resultado padrão sobre unicidade de soluções (teorema de existência e unicidade estilo Picard–Lindelöf): se a função
definida por o lado direito da equação
e sua derivada parcial
são contínuas numa vizinhança do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Aqui temos
Calcule a derivada parcial em relação a
:
Ambas as funções
e
são polinômios em
e
, portanto são contínuas em toda a reta. Em particular são contínuas numa vizinhança do ponto
. Pelo teorema de unicidade, existe uma única solução da equação diferencial que satisfaz
.
Passo 5
Conclusão lógica: já encontramos uma solução que satisfaz a condição inicial,
, e pela unicidade essa é a única solução que passa por
. Logo a solução do problema com a condição dada é a solução identicamente nula.
Passo 6
Se quisermos achar as soluções que não são identicamente zero, uma abordagem é inverter como fizemos e obter
que é uma equação de Bernoulli com expoente
. A substituição
transforma em uma equação linear em
:
cuja solução geral pode ser obtida por fator integrante
. A integral que aparece envolve
, que não tem primitiva elementar, e portanto as soluções não nulas ficam expressas implicitamente usando essa integral não elementar. Mas esta linha é apenas para estudo adicional — para a condição inicial dada a única solução relevante é a solução trivial mostrada acima.