Resolva a EDO y^prime+y=x y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’ + y = x y^{2} $. Esse tipo de equação aparece quando queremos entender como uma quantidade muda em relação a outra, tipo a velocidade de crescimento de uma população. A matéria que estamos usando aqui é sobre Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver essa EDO, vamos precisar usar um método chamado Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que nossa equação $ y’ + y = x y^{2} $ está na forma padrão de uma Equação de Bernoulli, que é:
y' + y = x y^2
No nosso caso, $ P(x) = 1 $, $ Q(x) = x $ e $ n = 2 $.

Passo 3

A Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova função $ z $ tal que:
z
Isso significa que:
z = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1

Passo 4

Agora, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia:
z
Isso nos dá uma relação entre $ z’ $ e $ y’ $.

Passo 5

Vamos substituir $ y’ $ da equação original na expressão de $ z’ $. Da equação original:
y'
Substituindo na expressão de $ z’ $:
z'
Então, a nova equação para $ z $ é:
y' = x y^2 - y

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em termos de $ z $:
z
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
z' - z = -x

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso simplifica para:
e^-x z' - e^-x z = -x e^-x

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{-x} z $, e a integral do lado direito pode ser resolvida por partes:
integral ddx ( e^-x z ) dx = integral -x e^-x dx
Então:
e^-x z

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $ para isolar $ z $:
e^x
Lembrando que $ z = \frac{1}{y} $, então:
z

Passo 10

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = 1x + 1 + C e^x
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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