Resolva a EDO
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’ + y = x y^{2} $. Esse tipo de equação aparece quando queremos entender como uma quantidade muda em relação a outra, tipo a velocidade de crescimento de uma população. A matéria que estamos usando aqui é sobre Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver essa EDO, vamos precisar usar um método chamado Equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que nossa equação $ y’ + y = x y^{2} $ está na forma padrão de uma Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, $ P(x) = 1 $, $ Q(x) = x $ e $ n = 2 $.
Passo 3
A Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova função $ z $ tal que:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ z $ em relação a $ x $. Usando a regra da cadeia:
Isso nos dá uma relação entre $ z’ $ e $ y’ $.
Passo 5
Vamos substituir $ y’ $ da equação original na expressão de $ z’ $. Da equação original:
Substituindo na expressão de $ z’ $:
Então, a nova equação para $ z $ é:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em termos de $ z $:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ e^{-x} z $, e a integral do lado direito pode ser resolvida por partes:
Então:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $ para isolar $ z $:
Lembrando que $ z = \frac{1}{y} $, então:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.