Seja
.
a) Determine os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de
e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de
.
a) Determine os intervalos onde
b) Determine os pontos críticos de
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
e queremos estudar crescimento, pontos críticos, concavidade e esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e analisar o sinal para achar intervalos de aumento e decréscimo. Temos
Resolvendo
Passo 3
Encontrar os pontos críticos e classificá-los. O único ponto crítico é onde
, ou seja
. Para classificar usamos a derivada segunda:
Calcular a derivada segunda e estudar concavidade. Temos
Calcular a derivada segunda e estudar concavidade. Temos
Como
Passo 4
Classificar o ponto crítico com base em
. Logo em
há um mínimo local (e global, pois não há outros pontos críticos). Não existem máximos locais nem pontos de inflexão.
Passo 5
Esboçar o gráfico usando as informações: é uma curva convexa, decrescente até
, com mínimo em
, depois crescente, tendendo a
em ambos os extremos e sem cruzar o eixo
.
Resposta
a) f é decrescente em
e crescente em
.
b) Ponto crítico em (mínimo local de valor
); não há máximo local nem ponto de inflexão.
c) Como para todo
, o gráfico é côncavo para cima em
e não há concavidade para baixo.
d) Gráfico: curva convexa com mínimo em , que tende a
nos extremos e nunca cruza o eixo x.
b) Ponto crítico em
c) Como
d) Gráfico: curva convexa com mínimo em