Seja f(x)=e^x-x.
a) Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de f e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de f é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=e^x - x e queremos estudar crescimento, pontos críticos, concavidade e esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e analisar o sinal para achar intervalos de aumento e decréscimo. Temos
f'(x)=e^x-1
Resolvendo f'(x)=0 e^x=1 e portanto x=0. Como e^x>1 para x>0, f'(x)>0 em (0,infty) e como e^x<1 para x<0, f'(x)<0 em (-,0).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos e classificá-los. O único ponto crítico é onde f'(x)=0, ou seja x=0. Para classificar usamos a derivada segunda:
Calcular a derivada segunda e estudar concavidade. Temos
f''(x)=e^x
Como e^x>0 para todo x, o gráfico é côncavo para cima em (-,infty) e não há trecho côncavo para baixo.

Passo 4

Classificar o ponto crítico com base em f''(0)=e^0=1>0. Logo em x=0 há um mínimo local (e global, pois não há outros pontos críticos). Não existem máximos locais nem pontos de inflexão.

Passo 5

Esboçar o gráfico usando as informações: é uma curva convexa, decrescente até x=0, com mínimo em (0,1), depois crescente, tendendo a +infty em ambos os extremos e sem cruzar o eixo x.

Resposta

a) f é decrescente em (-,0) e crescente em (0,infty).
b) Ponto crítico em x=0 (mínimo local de valor f(0)=1); não há máximo local nem ponto de inflexão.
c) Como f''(x)=e^x>0 para todo x, o gráfico é côncavo para cima em (-,infty) e não há concavidade para baixo.
d) Gráfico: curva convexa com mínimo em (0,1), que tende a +infty nos extremos e nunca cruza o eixo x.

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