Seja
.
a) Determine os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de
e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de
.
a) Determine os intervalos onde
b) Determine os pontos críticos de
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede analisar a função de uma variável real dada por
. Vamos identificar onde ela é crescente ou decrescente (usando a primeira derivada), encontrar e classificar seus pontos críticos, estudar a concavidade do gráfico (via segunda derivada) e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Para estudar monotonicidade, calculamos a primeira derivada:
O sinal de
vem do numerador
, pois o denominador é sempre positivo. Temos:
-
se e somente se → . -
se e somente se → .
Logo,é crescente em e decrescente em .
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem onde
ou
não existe. Aqui
existe sempre, e
⇔
⇔
. Avaliamos o comportamento de
em torno de cada ponto:
- Em
, passa de negativo (para ) a positivo (para ), logo há um mínimo local em , com . - Em
, passa de positivo (para ) a negativo (para ), logo há um máximo local em , com .
Passo 4
Para estudar concavidade, calculamos a segunda derivada. Partindo de
, temos:
O denominador é positivo sempre, então o sinal de
vem de
. Analisando intervalos:
-
: → → concavidade para baixo. -
: → → concavidade para cima. -
: → → concavidade para baixo. -
: → → concavidade para cima.
As inflexões ocorrem ondee há troca de concavidade: em .
Passo 5
Para esboçar o gráfico, reunimos:
- Cresce em
, decresce em . - Máximo local em
, mínimo local em . - Concava para baixo em
e para cima em . -
é ímpar, logo simétrica ao redor da origem. - Assimntota horizontal em
, já que .
O esboço reflete essas características: cruza a origem, sobe até, desce, aproxima de zero, com as inflexões marcando mudanças de curvatura.
Passo 6
Com todos esses dados, temos um gráfico que parte de 0 de baixo (para
), desce até o mínimo em
, depois sobe atravessando a origem, atinge o máximo em
e então decresce lentamente se aproximando de 0.
Resposta
a) Crescente em (-1,1) e decrescente em (-∞,-1) ∪ (1,∞).
b) Pontos críticos: x=−1 (mínimo local, f(−1)=−½), x=1 (máximo local, f(1)=½). Pontos de inflexão em x=−√3,0,√3.
c) Concavidade para baixo em (−∞,−√3) ∪ (0,√3) e para cima em (−√3,0) ∪ (√3,∞).
d) Gráfico: função ímpar, assíntota y=0, mínimo em (−1,−½), máxima em (1,½), inflexões em x=±√3 e x=0, conforme descrito.
b) Pontos críticos: x=−1 (mínimo local, f(−1)=−½), x=1 (máximo local, f(1)=½). Pontos de inflexão em x=−√3,0,√3.
c) Concavidade para baixo em (−∞,−√3) ∪ (0,√3) e para cima em (−√3,0) ∪ (√3,∞).
d) Gráfico: função ímpar, assíntota y=0, mínimo em (−1,−½), máxima em (1,½), inflexões em x=±√3 e x=0, conforme descrito.