Seja f(x)=xx^2+1.
a) Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de f e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de f é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede analisar a função de uma variável real dada por f(x)=xx^2+1. Vamos identificar onde ela é crescente ou decrescente (usando a primeira derivada), encontrar e classificar seus pontos críticos, estudar a concavidade do gráfico (via segunda derivada) e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para estudar monotonicidade, calculamos a primeira derivada:
f'(x)=(1)(x^2+1)-x(2x)(x^2+1)^2=x^2+1-2x^2(x^2+1)^2=1-x^2(x^2+1)^2
O sinal de f'(x) vem do numerador 1-x^2, pois o denominador é sempre positivo. Temos:
  • 1-x^2>0 se e somente se |x|<1 f'(x)>0.
  • 1-x^2<0 se e somente se |x|>1 f'(x)<0.
    Logo, f é crescente em (-1,1) e decrescente em .

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f' não existe. Aqui f' existe sempre, e f'(x)=0 1-x^2=0 x=pm1. Avaliamos o comportamento de f' em torno de cada ponto:
  • Em x=-1, f' passa de negativo (para x<-1) a positivo (para -1), logo há um mínimo local em x=-1, com f(-1)=-tfrac12.
  • Em x=1, f' passa de positivo (para x<1) a negativo (para x>1), logo há um máximo local em x=1, com f(1)=tfrac12.

Passo 4

Para estudar concavidade, calculamos a segunda derivada. Partindo de f'(x)=tfrac1-x^2(x^2+1)^2, temos:
f''(x)=ddx(1-x^2(x^2+1)^2)=-2x(3-x^2)(x^2+1)^3
O denominador é positivo sempre, então o sinal de f''(x) vem de -2x(3-x^2). Analisando intervalos:
  • x<-raiz3: -2x)>0 e ((3-x^2))<0 → concavidade para baixo.
  • f''<0: -raiz3 → concavidade para cima.
  • -2x)>0 e ((3-x^2))>0: f''>0 → concavidade para baixo.
  • 0: -2x)<0 e ((3-x^2))>0 → concavidade para cima.
    As inflexões ocorrem onde f''<0 e há troca de concavidade: em x>raiz3.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, reunimos:
  • Cresce em (-1,1), decresce em (1,tfrac12).
  • Máximo local em (-1,-tfrac12), mínimo local em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty).
  • Concava para baixo em f e para cima em y=0.
  • limxtopminftyf(x)=0 é ímpar, logo simétrica ao redor da origem.
  • Assimntota horizontal em (1,1/2), já que .
    O esboço reflete essas características: cruza a origem, sobe até , desce, aproxima de zero, com as inflexões marcando mudanças de curvatura.

Passo 6

Com todos esses dados, temos um gráfico que parte de 0 de baixo (para xto-infty), desce até o mínimo em (-1,-1/2), depois sobe atravessando a origem, atinge o máximo em (1,1/2) e então decresce lentamente se aproximando de 0.

Resposta

a) Crescente em (-1,1) e decrescente em (-∞,-1) ∪ (1,∞).
b) Pontos críticos: x=−1 (mínimo local, f(−1)=−½), x=1 (máximo local, f(1)=½). Pontos de inflexão em x=−√3,0,√3.
c) Concavidade para baixo em (−∞,−√3) ∪ (0,√3) e para cima em (−√3,0) ∪ (√3,∞).
d) Gráfico: função ímpar, assíntota y=0, mínimo em (−1,−½), máxima em (1,½), inflexões em x=±√3 e x=0, conforme descrito.

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