Resolva as edols:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-2 x x^2 ; x>0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''+4y'+4y=e^-2xx^2, x>0
O conteúdo aqui envolve (1) encontrar a solução geral da homogênea associada e (2) achar uma solução particular da não homogênea. Para a parte particular vamos usar o método de redução de ordem escrito como yp=e^-2xu(x).

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y''+4y'+4y=0
A equação característica é
r^2+4r+4=0;Longrightarrow;(r+2)^2=0,
ou seja, raiz dupla r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
yh=C1e^-2x+C2,x,e^-2x

Passo 3

Para achar uma solução particular, fazemos o ansatz
yp=e^-2xu(x)
Calculamos as derivadas
yp' = e^-2x(u'-2u), yp'' = e^-2x(u''-4u'+4u)
Substituindo na equação original obtemos
yp''+4yp'+4yp =e^-2xl(u''-4u'+4ur) +4e^-2xl(u'-2ur) +4e^-2xu =e^-2xu''
Portanto a relação para u fica
e^-2xu''=e^-2xx^2 Longrightarrow u''=x^2

Passo 4

Integramos duas vezes ignorando constantes que seriam absorvidas em yh:
u'(x)=integral x^2,dx=x^33, u(x)=integralx^33,dx=x^412
Logo uma solução particular é
yp=e^-2x,x^412

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=yh+yp =C1e^-2x+C2x,e^-2x+x^412,e^-2x =e^-2xl(C1+C2x+x^412r)

Resposta

y(x)=e^-2xl(C1+C2x+tfracx^412r), x>0

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