2- Se f(x, y)=3 x^3 y^2-2 x y^3+x y-1, encontre a diferença total d f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^3y^2-2xy^3+xy-1
e pede a diferencial total df. Para isso usamos a definição
df=partial fpartial x,dx+partial fpartial y,dy,
calculando primeiro partial f/partial x e depois partial f/partial y.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
partial fpartial x =partialpartial x(3x^3y^2)+partialpartial x(-2xy^3) +partialpartial x(xy)+partialpartial x(-1)
Derivando termo a termo:
partialpartial x(3x^3y^2)=9x^2y^2, partialpartial x(-2xy^3)=-2y^3, partialpartial x(xy)=y, partialpartial x(-1)=0
Logo,
partial fpartial x=9x^2y^2-2y^3+y

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y =partialpartial y(3x^3y^2)+partialpartial y(-2xy^3) +partialpartial y(xy)+partialpartial y(-1)
Derivando termo a termo:
partialpartial y(3x^3y^2)=6x^3y, partialpartial y(-2xy^3)=-6xy^2, partialpartial y(xy)=x, partialpartial y(-1)=0
Logo,
partial fpartial y=6x^3y-6xy^2+x

Passo 4

Substituímos as parciais na definição de df:
df=l(9x^2y^2-2y^3+yr),dx +l(6x^3y-6xy^2+xr),dy

Resposta

df=(9x^2y^2-2y^3+y),dx+(6x^3y-6xy^2+x),dy

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