Resolva as EDOs de 1a Ordem abaixo:
d yd x+2x+1 y=x^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO de 1ª ordem linear dydx + 2x+1y = x^2. O conteúdo é método do fator integrante, e vamos precisar identificar p(x) e q(x), calcular o fator integrante e usar integração.

Passo 2

Reescrever na forma padrão y'(x) + p(x)y = q(x). Aqui temos p(x)=2x+1 e q(x)=x^2.

Passo 3

Calcular o fator integrante mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral 2x+1,dxr)=expl(2ln|x+1|r)=(x+1)^2.

Passo 4

Multiplicar a EDO original por mu(x). Obtemos:
(x+1)^2dydx+2x+1(x+1)^2y = x^2(x+1)^2,
e o lado esquerdo é a derivada de (x+1)^2y:
ddxl((x+1)^2yr)=x^2(x+1)^2

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
(x+1)^2y=integral x^2(x+1)^2,dx=integral (x^4+2x^3+x^2),dx=x^55+x^42+x^33+C,

Passo 6

Isolar y dividindo por (x+1)^2:
y=x^55+x^42+x^33+C(x+1)^2

Resposta

y=x^5/5+ x^4/2+ x^3/3 + C(x+1)^2

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