Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
A
e
divergem.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
-
converge e
diverge.
D
diverge e
converge.
E
e
convergem.
A
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D
E
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
- $ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}-2n+6}}{6{n{2}-4n+2}} $
- $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7{n{3}-3n-1}}{6{n{3}-2n+1}} $
O objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as expressões das séries para facilitar a análise. Olhando para $ S_{1} $:
Podemos reescrever essa fração usando propriedades das potências:
Mas isso ainda é complexo. Uma maneira mais prática é analisar o comportamento do termo geral quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 3
Vamos considerar o termo geral de $ S_{1} $:
Simplificando:
Agora, percebemos que $ \left(\frac{5}{6}\right){n{2}} $ diminui muito rápido porque a base é menor que 1 e o expoente cresce quadráticamente.
Passo 4
Para testar a convergência de $ S_{1} $, usamos o Teste da Razão, que avalia o limite de $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ quando $ n $ tende ao infinito.
Calculando:
Como $ \left(\frac{5}{6}\right)^{2n+1} $ tende a zero quando $ n $ aumenta, o limite é zero.
Como o limite é menor que 1, a série $ S_{1} $ converge.
Passo 5
Agora vamos analisar $ S_{2} $:
Vamos simplificar o termo geral:
Simplificando:
Aqui, $ \left(\frac{7}{6}\right){n{3}} $ cresce muito rápido porque a base é maior que 1 e o expoente cresce o cubo de $ n $.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão para $ S_{2} $:
Como $ \left(\frac{7}{6}\right){3n{2}+3n+1} $ tende ao infinito quando $ n $ aumenta, o limite também tende ao infinito.
Portanto, o limite é maior que 1, o que indica que a série $ S_{2} $ diverge.
Resposta
A alternativa correta é a C: $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.