Sejam S1=sumn=0^infty 5^n^2-2 n+66^n^2-4 n+2 e S2= sumn=0^infty 7^n^3-3 n-16^n^3-2 n+1. Assinale a alternativa correta:
A S1 e S2 divergem.
B Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
  • S1 converge e S2 diverge.
    D S1 diverge e S2 converge.
    E S1 e S2 convergem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries infinitas:
  • $ S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5{n{2}-2n+6}}{6{n{2}-4n+2}} $
  • $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7{n{3}-3n-1}}{6{n{3}-2n+1}} $
O objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões das séries para facilitar a análise. Olhando para $ S_{1} $:
S1
Podemos reescrever essa fração usando propriedades das potências:
S1 = sumn=0^infty 5^n^2-2n+66^n^2-4n+2
Mas isso ainda é complexo. Uma maneira mais prática é analisar o comportamento do termo geral quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 3

Vamos considerar o termo geral de $ S_{1} $:
S1
Simplificando:
an = 5^n^2-2n+66^n^2-4n+2 = (56)^n^2 times 5^-2n+6 times 6^4n - 2
Agora, percebemos que $ \left(\frac{5}{6}\right){n{2}} $ diminui muito rápido porque a base é menor que 1 e o expoente cresce quadráticamente.

Passo 4

Para testar a convergência de $ S_{1} $, usamos o Teste da Razão, que avalia o limite de $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ quando $ n $ tende ao infinito.
Calculando:
S1
Como $ \left(\frac{5}{6}\right)^{2n+1} $ tende a zero quando $ n $ aumenta, o limite é zero.
Como o limite é menor que 1, a série $ S_{1} $ converge.

Passo 5

Agora vamos analisar $ S_{2} $:
S2
Vamos simplificar o termo geral:
S2 = sumn=0^infty 7^n^3-3n-16^n^3-2n+1
Simplificando:
bn = 7^n^3-3n-16^n^3-2n+1 = (76)^n^3 times 7^-3n-1 times 6^2n -1
Aqui, $ \left(\frac{7}{6}\right){n{3}} $ cresce muito rápido porque a base é maior que 1 e o expoente cresce o cubo de $ n $.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão para $ S_{2} $:
S2
Como $ \left(\frac{7}{6}\right){3n{2}+3n+1} $ tende ao infinito quando $ n $ aumenta, o limite também tende ao infinito.
Portanto, o limite é maior que 1, o que indica que a série $ S_{2} $ diverge.

Resposta

A alternativa correta é a C: $ S_{1} $ converge e $ S_{2} $ diverge.

Exercícios relacionados