Resolva as EDOs de 1a Ordem abaixo:
d yd x+yx ln x=x

Passo 1

A equação é uma EDO linear de 1ª ordem no formato dydx+P(x)y=Q(x). Aqui temos P(x)=1xln x e Q(x)=x. Para resolver, vamos usar o fator integrante mu(x)=e^integral P(x)dx.

Passo 2

Calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral1xln xdx=e^ln|ln x|=ln x(x>1)
Multiplicamos a EDO original por mu(x) para obter uma derivada exata:
ln x,dydx+yx=xln x
Mas o lado esquerdo é exatamente ddx(yln x). Então
ddx(yln x)=xln x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
$$
y\ln x=\int x\ln x,dx + C$$

Passo 4

Para calcular integral xln x,dx, usamos integração por partes com u=ln x e dv=x,dx. Assim
integral xln x,dx=x^22ln x-integralx^22cdot1xdx=x^22ln x-x^24+C

Passo 5

Substituindo de volta em yln x e isolando y, obtemos:
$$
y\ln x=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C yln x=x^22ln x-x^24+C
y(x)=\frac{\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C}{\ln x}$$

Resposta

y(x)=x^22-x^24ln x+Cln x

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