F(x, y, z)=3 x^2 y z i-2 y^2 z j+e^2 x k
f(x, y, z)=x^2 y^3+5 y^3 z^4
calcular rotacional

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial vec F(x,y,z)=3x^2yz,vec i-2y^2z,vec j+e^2x,vec k e um potencial escalar f(x,y,z)=x^2y^3+5y^3z^4, mas como ele pede “calcular rotacional” vamos focar em vec F e usar a definição de rotacional. Este é um tópico de cálculo vetorial que nos diz como medir a “rotação local” de um campo.

Passo 2

Para calcular o rotacional de vec F=(P,Q,R) usamos a fórmula
nablatimesvec F= vec i & vec j & vec k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z P & Q & R
Isso se expande em três componentes:
(partial R/partial y-partial Q/partial z),vec i, (partial P/partial z-partial R/partial x),vec j, (partial Q/partial x-partial P/partial y),vec k

Passo 3

Agora computamos as derivadas parciais de cada componente:
  • partial R/partial y=partial(e^2x)/partial y=0
  • partial Q/partial z=partial(-2y^2z)/partial z=-2y^2
  • partial P/partial z=partial(3x^2yz)/partial z=3x^2y
  • partial R/partial x=partial(e^2x)/partial x=2e^2x
  • partial Q/partial x=partial(-2y^2z)/partial x=0
  • partial P/partial y=partial(3x^2yz)/partial y=3x^2z

Passo 4

Substituindo na fórmula temos:
nablatimesvec F= (0-(-2y^2)),vec i+(3x^2y-2e^2x),vec j+(0-3x^2z),vec k
e simplificando os sinais e termos chegamos ao resultado final.

Resposta

nablatimesvec F=2y^2,vec i+l(3x^2y-2e^2xr),vec j-3x^2z,vec k

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