Resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra resolver. A equação é:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais exatas e possíveis fatores integrantes para resolver essa EDO. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para uma equação ser exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, calculamos
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata!
Passo 6
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja
, então
.
Então, a integral fica:
Portanto:
Onde
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 8
Agora, tomamos a derivada de
em relação a
e igualamos a
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Fazendo uma substituição
, então
ou
, a integral fica:
Passo 10
Agora, temos
:
Como solução geral da equação exata, igualamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.