Resolva as EDOs abaixo:
(2 x y cos (x^2 y))+(x^2 cos (x^2 y)-16(2 y+1)^3) d yd x=0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra resolver. A equação é:
(2 x y cos (x^2 y)) + (x^2 cos (x^2 y) - 16(2 y + 1)^3) d yd x = 0
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais exatas e possíveis fatores integrantes para resolver essa EDO. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão:
M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0
Onde:
M(x, y) = 2 x y cos (x^2 y)
N(x, y) = x^2 cos (x^2 y) - 16(2 y + 1)^3

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para uma equação ser exata, a derivada parcial de M em relação a y deve ser igual à derivada parcial de N em relação a x . Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, calculamos partial Mpartial y :
partial Mpartial y = 2 x cos(x^2 y) + 2 x y cdot (-x^2 sin(x^2 y)) = 2 x cos(x^2 y) - 2 x^3 y sin(x^2 y)

Passo 4

Agora, calculamos partial Npartial x :
partial Npartial x = 2 x cos(x^2 y) + x^2 cdot (-2 x y sin(x^2 y)) = 2 x cos(x^2 y) - 2 x^3 y sin(x^2 y)

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial Npartial x = 2 x cos(x^2 y) - 2 x^3 y sin(x^2 y)
Como elas são iguais, a equação é exata!

Passo 6

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M(x, y) e partial Phipartial y = N(x, y)
Vamos encontrar Phi(x, y) integrando M(x, y) em relação a x :
Phi(x, y) = integral 2 x y cos(x^2 y) , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Seja u = x^2 y , então du = 2 x y , dx .
Então, a integral fica:
integral 2 x y cos(x^2 y) , dx = integral cos(u) , du = sin(u) + C = sin(x^2 y) + C
Portanto:
Phi(x, y) = sin(x^2 y) + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que precisamos determinar.

Passo 8

Agora, tomamos a derivada de Phi(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y) :
partial Phipartial y = x^2 cos(x^2 y) + h'(y) = N(x, y) = x^2 cos(x^2 y) - 16(2 y + 1)^3
Subtraindo x^2 cos(x^2 y) de ambos os lados:
h'(y) = -16(2 y + 1)^3

Passo 9

Integrando h'(y) em relação a y :
h(y) = integral -16(2 y + 1)^3 , dy
Fazendo uma substituição w = 2 y + 1 , então dw = 2 , dy ou dy = dw2 , a integral fica:
h(y) = -16 cdot 12 integral w^-3 , dw = -8 cdot ( w^-2-2 ) + C = 8w^2 + C = 8(2 y + 1)^2 + C

Passo 10

Agora, temos Phi(x, y) :
Phi(x, y) = sin(x^2 y) + 8(2 y + 1)^2 + C
Como solução geral da equação exata, igualamos Phi(x, y) = constante :
sin(x^2 y) + 8(2 y + 1)^2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
sin(x^2 y) + 8(2 y + 1)^2 = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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