Seja B=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= z <= 1-x^2-y^2.
Encontre o valor da integral usando uma das integrais iteradas obtida no item (a). (Resp.: 0.)

Passo 1

O enunciado define o sólido
B = (x,y,z)inR^3 mid 0 <= z <= 1 - x^2 - y^2
e pede para calcular a integral
integral triplaB x ,dV
usando uma das integrais iteradas obtidas no item (a). O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cilíndricas (polares no plano xy) e explorar a simetria.

Passo 2

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z, dV = r,dz,dr,dtheta
Na projeção no plano xy, temos r variando de 0 a 1 (pois z>=0 implica r^2<=1) e theta de 0 a 2pi. A integral fica
integral triplaB x ,dV = integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^1-r^2 (rcostheta),r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=0^1-r^2 dz = 1 - r^2
Logo
integral triplaB x ,dV = integral0^2piintegral0^1 rcostheta;r,(1-r^2),dr,dtheta = integral0^2picostheta,dtheta ;integral0^1 r^2(1-r^2),dr

Passo 4

Note que
integral0^2picostheta,dtheta = 0,
pois costheta é função de soma zero em um período completo. Mesmo que
integral0^1 r^2(1-r^2),dr > 0,
o produto fica zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados