Resolva as EDOs abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO): (10 x^2 y+12 xx^2+4) + (10 x y^2) dydx=0. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função y em termos de x que satisfaz essa relação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos organizar os termos de modo que fiquem na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Assim, temos:
(10x^2 y + 12xx^2 + 4)dx + (10x y^2)dy = 0
Aqui, identificamos:
  • M(x,y) = 10x^2 y + 12xx^2 + 4
  • N(x,y) = 10x y^2

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular:
partial Mpartial y = 10x^2
partial Npartial x = 10y^2
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 4

Quando a equação não é exata, a gente tenta encontrar um fator integrante que multiplique toda a equação tornando-a exata. Geralmente, procuramos fatores que dependam apenas de x ou apenas de y.
Para encontrar um fator integrante mu(x) que dependa só de x, usamos a fórmula:
mu(x) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dx
Calculando:
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 10x^2 - 10y^210x y^2 = x^2 - y^2x y^2
Nota que essa expressão ainda depende de y, o que sugere que um fator integrante que dependa apenas de x não funcionará aqui. O mesmo vale para fatores que dependam apenas de y.

Passo 5

Diante disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a equação. Observando a equação original, percebemos que ela não está facilmente separável ou linear. No entanto, podemos tentar tratar como uma EDO do tipo exato após uma substituição.
Uma abordagem possível é observar a presença de 12xx^2 + 4 e pensar em uma substituição que simplifique esse termo. No entanto, essa abordagem pode não levar a uma solução direta.

Passo 6

Outra estratégia é multiplicar a equação original por um fator que simplifique a expressão. Aqui, podemos multiplicar ambos os lados por x^2 + 4 para eliminar o denominador:
(10x^2 y (x^2 + 4) + 12x) + 10x y^2 (x^2 + 4) dydx = 0
Isso simplifica a equação para:
10x^2 y (x^2 + 4) + 12x + 10x y^2 (x^2 + 4) dydx = 0

Passo 7

Vamos reorganizar a equação:
10x y^2 (x^2 + 4) dydx = -(10x^2 y (x^2 + 4) + 12x)
Dividindo ambos os lados por 10x y^2 (x^2 + 4):
dydx = -10x^2 y (x^2 + 4) + 12x10x y^2 (x^2 + 4)
Simplificando os termos:
dydx = -10x^2 y + 12xx^2 + 410x y^2

Passo 8

Agora, podemos separar as variáveis x e y. Vamos reorganizar a equação para obter termos de y de um lado e termos de x do outro:
y^2 dy = -10x^2 y + 12xx^2 + 410x dx
Simplificando:
y^2 dy = -(10x^2 y10x + 12x10x (x^2 + 4)) dx
y^2 dy = -(x y + 1210 (x^2 + 4)) dx

Passo 9

Integrando ambos os lados:
integral y^2 dy = -integral (x y + 1210 (x^2 + 4)) dx
Calculando as integrais:
y^33 = -(x^2 y2 + 1210 cdot 12 ln(x^2 + 4)) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Multiplicando tudo por 6 para simplificar:
2y^3 = -3x^2 y - 3610 ln(x^2 + 4) + C
Podemos simplificar ainda mais:
2y^3 + 3x^2 y + 185 ln(x^2 + 4) = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
2y^3 + 3x^2 y + 185 ln(x^2 + 4) = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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