Resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO):
. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função
em termos de
que satisfaz essa relação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos organizar os termos de modo que fiquem na forma
. Assim, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, a gente tenta encontrar um fator integrante que multiplique toda a equação tornando-a exata. Geralmente, procuramos fatores que dependam apenas de
ou apenas de
.
Para encontrar um fator integrante
que dependa só de
, usamos a fórmula:
Calculando:
Nota que essa expressão ainda depende de
, o que sugere que um fator integrante que dependa apenas de
não funcionará aqui. O mesmo vale para fatores que dependam apenas de
.
Passo 5
Diante disso, vamos tentar uma substituição que simplifique a equação. Observando a equação original, percebemos que ela não está facilmente separável ou linear. No entanto, podemos tentar tratar como uma EDO do tipo exato após uma substituição.
Uma abordagem possível é observar a presença de
e pensar em uma substituição que simplifique esse termo. No entanto, essa abordagem pode não levar a uma solução direta.
Passo 6
Outra estratégia é multiplicar a equação original por um fator que simplifique a expressão. Aqui, podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Isso simplifica a equação para:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, podemos separar as variáveis
e
. Vamos reorganizar a equação para obter termos de
de um lado e termos de
do outro:
Simplificando:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Multiplicando tudo por 6 para simplificar:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.