Determine uma familia de soluções das EDOs abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede: encontrar uma família de soluções (ou seja, a solução geral). Informações relevantes que temos:
- A variável independente é
e a dependente é . - A razão
está escrita como uma função que separa em termos de (no numerador) e de (no denominador). - A equação não está definida quando
(ou seja, para ); isso afeta o domínio das soluções.
Passo 2
Observando a forma da equação, percebemos que o lado direito é um quociente onde uma parte depende só de
e a outra só de
. Isso indica que a equação é separável, ou seja, pode-se rearranjar para ter um lado com apenas
e
e outro com apenas
e
. Vou explicar o método de separação de variáveis de forma direta e prática:
- A ideia da separação de variáveis é escrever a EDO na forma
de modo a poder multiplicar por
e obter
e então integrar cada lado em sua variável. As integrais resultantes fornecem uma relação implícita entre
e
, contendo uma constante de integração que representa a família de soluções.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis à nossa equação: multiplicamos ambos os lados por
para obter
Agora cada lado depende apenas da sua respectiva variável, então podemos integrar ambos os lados.
Passo 4
Vou integrar os dois lados. Antes, lembrando as regras básicas de integração que vou usar:
-
quando é constante. -
para .
Aplicando isso às funções presentes:
- No lado esquerdo temos
. - No lado direito temos
.
Passo 5
Calculemos as integrais explicitamente:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ao integrar ambos os lados devemos adicionar uma única constante de integração (podemos colocá-la de um dos lados). Assim:
onde
é uma constante arbitrária real que descreve a família de soluções.
Passo 6
É conveniente eliminar frações multiplicando toda a igualdade por
. Fazendo isso:
onde
é outra constante arbitrária (a constante de integração pode ser renomeada sem perda de generalidade). Reorganizando para deixar em forma simétrica:
que é uma forma implícita da família de soluções.
Passo 7
Comentário sobre a solução e domínio:
- A expressão anterior define a solução de forma implícita. Resolver explicitamente para
daria uma equação quártica em , o que é complicado e desnecessário aqui: em provas e aplicações geralmente a forma implícita é aceita como solução geral. - A EDO original tinha denominador
, portanto a equação não está definida quando . Assim, as soluções válidas são aquelas curvas implícitas que, no intervalo considerado, não fazem assumir esse valor; uma solução não pode atravessar um ponto onde a EDO é indefinida sem cuidados adicionais. - Não existem soluções constantes
para todo , porque isso exigiria para todo , o que na EDO somente ocorreria se para todo (impossível). Assim, nenhuma constante é solução global (além de valores em que a equação não está definida).
Passo 8
Verificação rápida (útil para prova): derivando implicitamente a relação encontrada recupera-se a EDO original. Diferenciando
em relação a
obtém-se
Agrupando os termos com
:
Dividindo ambos os lados por
dá
que é exatamente a EDO original — portanto a integração e manipulações estão corretas.