Determine uma familia de soluções das EDOs abaixo:
\frac{d y}{d x}=\frac{4 x-x^{3}}{4+y^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{4x-x^{3}}{4+y^{3}}
e pede: encontrar uma família de soluções (ou seja, a solução geral). Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).
  • A razão dy/dx está escrita como uma função que separa em termos de x (no numerador) e de y (no denominador).
  • A equação não está definida quando 4+y^{3}=0 (ou seja, para y=-\sqrt[3]{4}); isso afeta o domínio das soluções.

Passo 2

Observando a forma da equação, percebemos que o lado direito é um quociente onde uma parte depende só de x e a outra só de y. Isso indica que a equação é separável, ou seja, pode-se rearranjar para ter um lado com apenas y e dy e outro com apenas x e dx. Vou explicar o método de separação de variáveis de forma direta e prática:
  • A ideia da separação de variáveis é escrever a EDO na forma
g(y)\,\frac{dy}{dx}=f(x),
de modo a poder multiplicar por dx e obter
g(y)\,dy=f(x)\,dx,
e então integrar cada lado em sua variável. As integrais resultantes fornecem uma relação implícita entre x e y, contendo uma constante de integração que representa a família de soluções.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis à nossa equação: multiplicamos ambos os lados por (4+y^{3})\,dx para obter
(4+y^{3})\,dy = (4x-x^{3})\,dx.
Agora cada lado depende apenas da sua respectiva variável, então podemos integrar ambos os lados.

Passo 4

Vou integrar os dois lados. Antes, lembrando as regras básicas de integração que vou usar:
  • \displaystyle\int a\,du = a u + C quando a é constante.
  • \displaystyle\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Aplicando isso às funções presentes:
  • No lado esquerdo temos \displaystyle\int (4+y^{3})\,dy.
  • No lado direito temos \displaystyle\int (4x-x^{3})\,dx.

Passo 5

Calculemos as integrais explicitamente:
Lado esquerdo:
\int (4+y^{3})\,dy = \int 4\,dy + \int y^{3}\,dy = 4y + \frac{y^{4}}{4}.
Lado direito:
\int (4x-x^{3})\,dx = \int 4x\,dx - \int x^{3}\,dx = 2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}.
Ao integrar ambos os lados devemos adicionar uma única constante de integração (podemos colocá-la de um dos lados). Assim:
4y + \frac{y^{4}}{4} = 2x^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C,
onde C é uma constante arbitrária real que descreve a família de soluções.

Passo 6

É conveniente eliminar frações multiplicando toda a igualdade por 4. Fazendo isso:
16y + y^{4} = 8x^{2} - x^{4} + C',
onde C'=4C é outra constante arbitrária (a constante de integração pode ser renomeada sem perda de generalidade). Reorganizando para deixar em forma simétrica:
y^{4} + x^{4} - 8x^{2} + 16y = C',
que é uma forma implícita da família de soluções.

Passo 7

Comentário sobre a solução e domínio:
  • A expressão anterior define a solução de forma implícita. Resolver explicitamente para y daria uma equação quártica em y, o que é complicado e desnecessário aqui: em provas e aplicações geralmente a forma implícita é aceita como solução geral.
  • A EDO original tinha denominador 4+y^{3}, portanto a equação não está definida quando y=-\sqrt[3]{4}. Assim, as soluções válidas são aquelas curvas implícitas que, no intervalo considerado, não fazem y assumir esse valor; uma solução não pode atravessar um ponto onde a EDO é indefinida sem cuidados adicionais.
  • Não existem soluções constantes y(x)=y_{0} para todo x, porque isso exigiria \frac{dy}{dx}=0 para todo x, o que na EDO somente ocorreria se 4x-x^{3}=0 para todo x (impossível). Assim, nenhuma constante y_0 é solução global (além de valores em que a equação não está definida).

Passo 8

Verificação rápida (útil para prova): derivando implicitamente a relação encontrada recupera-se a EDO original. Diferenciando
y^{4} + x^{4} - 8x^{2} + 16y = C',
em relação a x obtém-se
4y^{3}\frac{dy}{dx} + 4x^{3} - 16x + 16\frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos com \frac{dy}{dx}:
(4y^{3}+16)\frac{dy}{dx} = 16x - 4x^{3}.
Dividindo ambos os lados por 4y^{3}+16 = 4(4+y^{3})
\frac{dy}{dx} = \frac{16x - 4x^{3}}{4(4+y^{3})} = \frac{4x - x^{3}}{4+y^{3}},
que é exatamente a EDO original — portanto a integração e manipulações estão corretas.

Resposta

y^{4} + x^{4} - 8x^{2} + 16y = C

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