Use a Regra da Cadeia para determinar
\partial z / \partial t e \partial w / \partial s.
w=e^{x+2 y}, \quad x=s / t, \quad y=t / s

Passo 1

O enunciado dá a função w em termos de x e y, e depois expressa x e y em termos de s e t:
w = e^{x + 2y}, \quad x = \frac{s}{t}, \quad y = \frac{t}{s}.
O que precisamos é usar a Regra da Cadeia para calcular \partial w/\partial t e \partial w/\partial s.

Passo 2

Primeiro, computamos as derivadas parciais de w em relação a x e a y. Como w = e^{x+2y}, vale:
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{x+2y}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} = 2\,e^{x+2y}.

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a s e a t.
Para x = s/t:
\frac{\partial x}{\partial s} = \frac{1}{t}, \qquad \frac{\partial x}{\partial t} = -\frac{s}{t^2}.
Para y = t/s:
\frac{\partial y}{\partial s} = -\frac{t}{s^2}, \qquad \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{1}{s}.

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}:
\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo:
\frac{\partial w}{\partial t} = e^{x+2y}\Bigl(-\frac{s}{t^2}\Bigr) + 2\,e^{x+2y}\Bigl(\frac{1}{s}\Bigr) = e^{x+2y}\Bigl(-\frac{s}{t^2} + \frac{2}{s}\Bigr).
E como x+2y = \frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}, podemos escrever
\frac{\partial w}{\partial t} = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}} \Bigl(-\frac{s}{t^2} + \frac{2}{s}\Bigr).

Passo 5

Do mesmo modo, para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}:
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} = e^{x+2y}\Bigl(\frac{1}{t}\Bigr) + 2\,e^{x+2y}\Bigl(-\frac{t}{s^2}\Bigr).
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\frac{\partial w}{\partial s} = e^{x+2y}\Bigl(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^2}\Bigr) = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}} \Bigl(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^2}\Bigr).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial t} = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}} \Bigl(-\frac{s}{t^2} + \frac{2}{s}\Bigr), \qquad \frac{\partial w}{\partial s} = e^{\frac{s}{t} + 2\frac{t}{s}} \Bigl(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^2}\Bigr).

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