Resolva as EDOs abaixo usando um fator integrante:
8 e^8 x+10 y+(5 e^8 x+10 y-25 y+5) d yd x=0

Passo 1

Escrevemos a EDO na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y) = 8e^8x+10y, N(x,y) = 5e^8x+10y-25y+5
Calculamos
partial Mpartial y =80e^8x+10y, partial Npartial x =40e^8x+10y,
logo partial M/partial yneqpartial N/partial x e a equação não é exata.

Passo 2

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. Para isso usamos
dlnmudy =partial Npartial x-partial Mpartial yM =40e^8x+10y-80e^8x+10y8e^8x+10y =-5
Integramos em y:
lnmu(y)=-5y+C Longrightarrow mu(y)=e^-5y

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por mu(y)=e^-5y, obtendo
8e^8x+5y,dx+l(5e^8x+5y-25y e^-5y+5e^-5yr),dy=0
Verifica-se que agora
partialpartial yl(8e^8x+5yr) =40e^8x+5y, partialpartial xl(5e^8x+5y-25y e^-5y+5e^-5yr) =40e^8x+5y,
logo é exata.

Passo 4

Procuramos Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x=8e^8x+5y
Integrando em x:
Psi(x,y)=integral 8e^8x+5y,dx =e^8x+5y+h(y)
Agora exigimos
partialPsipartial y =5e^8x+5y+h'(y) ;overset!=; 5e^8x+5y-25y e^-5y+5e^-5y,
logo
h'(y)=-25y e^-5y+5e^-5y
Integramos em y:
h(y) =integral(-25y+5)e^-5y,dy =5y e^-5y+C
Assim
Psi(x,y) =e^8x+5y+5y e^-5y,
e a solução implícita é Psi(x,y)=constante.

Resposta

e^8x+5y+5y e^-5y=C,
em que C é constante de integração.

Exercícios relacionados