Resolva as edo’s abaixo usando o método do fator integrante ou da separação de variáveis:
(2 x-y)+(2 y-x) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(2x - y) + (2y - x)\,y' = 0.
Isso é uma equação de primeira ordem que pode ser tratada como uma equação exata, ou seja, podemos escrevê-la na forma diferencial e verificar se existe uma função potencial \psi(x,y).

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma
(2x - y)\,dx + (2y - x)\,dy = 0,
de modo que
M(x,y) = 2x - y, \quad N(x,y) = 2y - x.

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função \psi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M = 2x - y.
Integrando em relação a x, obtemos
\psi(x,y) = \int (2x - y)\,dx = x^2 - x\,y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo a outra condição
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N = 2y - x,
temos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = -x + h'(y) = 2y - x \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 2y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^2.
Logo a função potencial é
\psi(x,y) = x^2 - x\,y + y^2.

Resposta

x^2 - x\,y + y^2 = C,
onde C é constante de integração.

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