Resolva as edo’s abaixo usando o método do fator integrante ou da separação de variáveis:
y^{\prime}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{3+4 y} ; \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = \frac{e^{-x} - e^{x}}{3 + 4y},
com condição inicial y(0)=0.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever
\frac{dy}{dx} = \bigl(e^{-x}-e^{x}\bigr)\,\frac{1}{3+4y}.
Para resolver, vamos separar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis:
(3+4y)\,dy = \bigl(e^{-x}-e^{x}\bigr)\,dx.
Agora integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
\int (3+4y)\,dy = \int 3\,dy + \int 4y\,dy = 3y + 2y^2.
No lado direito:
\int \bigl(e^{-x}-e^{x}\bigr)\,dx = \int e^{-x}\,dx - \int e^{x}\,dx = -e^{-x} - e^{x} + C.

Passo 3

Igualando as integrais, obtemos a relação implícita
3y + 2y^2 = -e^{-x} - e^{x} + C.
Para determinar C, use y(0)=0:
3\cdot 0 + 2\cdot 0^2 = -e^{0} - e^{0} + C \quad\Longrightarrow\quad 0 = -1 - 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.

Passo 4

Substituindo C=2, a solução implícita fica
3y + 2y^2 = 2 - e^{-x} - e^{x}.
Reorganizando como equação quadrática em y:
2y^2 + 3y + \bigl(e^{x} + e^{-x} - 2\bigr) = 0.

Passo 5

Resolva a quadrática pelo discriminante. Temos
y = \frac{-3 \pm \sqrt{\,3^2 - 4\cdot 2\cdot\bigl(e^{x}+e^{-x}-2\bigr)\,}}{2\cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8\,(e^{x}+e^{-x}-2)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25 - 8\,(e^{x}+e^{-x})}}{4}.
Para satisfazer y(0)=0, note que em x=0 o discriminante vale \sqrt{25-16}=3. As duas raízes em x=0 são \frac{-3+3}{4}=0 ou \frac{-3-3}{4}=-\tfrac{6}{4}. Então escolhemos o sinal + para coincidir com y(0)=0.

Resposta

\boxed{ y(x) = \frac{-3 + \sqrt{25 \;-\;8\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)}}{4} }

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