Resolva as edo’s abaixo usando o método do fator integrante ou da separação de variáveis:
y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} e y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
y' = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}, \quad y(0)=1.
Este é um caso de equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever y e x em lados distintos.

Passo 2

Separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,y^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^3} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. À esquerda:
\int y^{-3}\,dy = \int \frac{dy}{y^3} = \frac{y^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,y^2}.
À direita, faça u=1+x^2, du=2x\,dx:
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \frac12\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac12\cdot 2\,u^{\tfrac12} = \sqrt{1+x^2}.
Assim obtemos
-\frac{1}{2\,y^2} = \sqrt{1+x^2} + C.

Passo 4

Isolamos y^{-2} e introduzimos uma constante C_1:
\frac{1}{y^2} = -2\,\sqrt{1+x^2} + C_1.
Usamos y(0)=1:
\frac{1}{1^2} = -2\sqrt{1+0^2} + C_1 \quad\Longrightarrow\quad 1 = -2 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 3.

Passo 5

Substituindo C_1=3:
\frac{1}{y^2} = 3 - 2\,\sqrt{1+x^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{1}{3 - 2\sqrt{1+x^2}} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^2}\,}},
escolhendo o sinal positivo para satisfazer y(0)=1.

Resposta

y(x) = \frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^2}\,}}.

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