Resolva as EDOs abaixo usando séries:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Enunciado: resolver a equação diferencial
usando séries de potência.
- Informação importante: o coeficiente de
é , que anula em . Logo é um ponto singular da equação; o ponto é um ponto ordinário (os coeficientes podem ser desenvolvidos em série em torno de ). - O objetivo é encontrar a solução geral
escrita por séries (ou, se possível, em forma fechada a partir da soma da série).
Passo 2
Escolha do centro da série e forma da série.
- Como o enunciado exige solução por séries e
é um ponto onde os coeficientes são analíticos, vamos procurar uma solução em série de potência centrada em . Isso dará uma solução válida pelo menos até o primeiro singularidade , isto é, para . - Assumimos
onde os
são constantes a determinar (os coeficientes da série). Explico: essa é a forma padrão — escrevemos
como soma de potências de
com coeficientes desconhecidos e vamos impor a EDO para obter relações entre os
.
Passo 3
Derivadas em série (computar
e
).
- Derivando termo a termo temos
- Observação sobre reindexação: nas igualdades reescrevemos as séries para que todas sejam somas em potências
com começando em , facilitando comparar coeficientes de .
Passo 4
Substituição na EDO e alinhamento dos termos por potências de
.
- A EDO é
. Substituindo as séries:
- Calculemos cada termo em forma de
: - Já temos
- E
- Para
multiplicamos por :
- Já temos
onde reindexamos com
para escrever em potências
começando em
. (Portanto não há termo
vindo de
.)
- Somando tudo, para
o coeficiente de é
- Para
(termo constante) obtemos:
Passo 5
Simplificação da relação para
e obtenção da recorrência.
- No caso
fatoramos :
ou
- Como
, a relação reduz a
válida para todo
. (Repare que para
isso dá
, que coincide com a condição que obtivemos separadamente do termo constante.)
- Esta é a recorrência que relaciona
com . Note que ela conecta coeficientes consecutivos: sabendo obtém-se , em seguida , etc. O coeficiente não aparece em nenhuma relação e portanto é um parâmetro livre independentemente de — isto condiz com a ordem da EDO (duas constantes arbitrárias).
Passo 6
Resolvendo a recorrência explicitamente.
- Vamos obter uma expressão fechada para
em função de . Para ,
- O produto telescopa. Calculemos:
(Verificação rápida: para
dá
, para
dá
, etc.)
- Portanto, para
(ou uniformemente para ao indexar apropriadamente),
- Resumo dos coeficientes:
é livre, é livre, e para temos .
Passo 7
Soma da série e identificação com função conhecida.
- A série solução fica
- Recordando a série conhecida (soma para
):
temos então
- Como
e são constantes arbitrárias, renomeando constantes livres e obtemos a forma usual da solução geral:
Passo 8
Comentários finais e domínio de validade.
- A solução dada por
satisfaz a EDO (pode-se verificar substituindo). - A série de potência que usamos converge para
; a expressão fechada com é a continuação analítica natural até (onde há singularidade logarítmica). - As duas soluções independentes escolhidas são
e , combinadas linearmente para obter a solução geral.