Resolva as EDOs abaixo usando séries:
(t-1) y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Enunciado: resolver a equação diferencial
(t-1)\,y''(t)+y'(t)=0
usando séries de potência.
  • Informação importante: o coeficiente de y'' é t-1, que anula em t=1. Logo t=1 é um ponto singular da equação; o ponto t=0 é um ponto ordinário (os coeficientes podem ser desenvolvidos em série em torno de 0).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(t) escrita por séries (ou, se possível, em forma fechada a partir da soma da série).

Passo 2

Escolha do centro da série e forma da série.
  • Como o enunciado exige solução por séries e t=0 é um ponto onde os coeficientes são analíticos, vamos procurar uma solução em série de potência centrada em t=0. Isso dará uma solução válida pelo menos até o primeiro singularidade t=1, isto é, para |t|<1.
  • Assumimos
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n,
onde os a_n são constantes a determinar (os coeficientes da série). Explico: essa é a forma padrão — escrevemos y como soma de potências de t com coeficientes desconhecidos e vamos impor a EDO para obter relações entre os a_n.

Passo 3

Derivadas em série (computar y' e y'').
  • Derivando termo a termo temos
y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} t^{n},
y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n t^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} t^{n}.
  • Observação sobre reindexação: nas igualdades reescrevemos as séries para que todas sejam somas em potências t^n com n começando em 0, facilitando comparar coeficientes de t^n.

Passo 4

Substituição na EDO e alinhamento dos termos por potências de t.
  • A EDO é (t-1)y''+y'=0. Substituindo as séries:
t\,y''(t)-y''(t)+y'(t)=0.
  • Calculemos cada termo em forma de \sum_{n=0}^\infty (\cdots) t^n:
    • Já temos -y''(t)= -\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} t^{n}.
    • E y'(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} t^{n}.
    • Para t\,y''(t) multiplicamos por t:
t\,y''(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} t^{n+1} =\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)n a_{n+1} t^{n},
onde reindexamos com n\mapsto n-1 para escrever em potências t^n começando em n=1. (Portanto não há termo t^0 vindo de t\,y''.)
  • Somando tudo, para n\ge 1 o coeficiente de t^n é
(n+1)n a_{n+1} - (n+2)(n+1)a_{n+2} + (n+1)a_{n+1}=0.
  • Para n=0 (termo constante) obtemos:
-2\cdot1\;a_2 + 1\cdot a_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2a_2+a_1=0.

Passo 5

Simplificação da relação para n\ge1 e obtenção da recorrência.
  • No caso n\ge 1 fatoramos (n+1):
(n+1)\bigl(n a_{n+1} - (n+2)a_{n+2} + a_{n+1}\bigr)=0
ou
(n+1)\bigl((n+1)a_{n+1}-(n+2)a_{n+2}\bigr)=0.
  • Como n+1\neq 0, a relação reduz a
(n+2)a_{n+2}=(n+1)a_{n+1}\quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\,a_{n+1},
válida para todo n\ge 0. (Repare que para n=0 isso dá a_2=\tfrac{1}{2}a_1, que coincide com a condição que obtivemos separadamente do termo constante.)
  • Esta é a recorrência que relaciona a_{n+2} com a_{n+1}. Note que ela conecta coeficientes consecutivos: sabendo a_1 obtém-se a_2, em seguida a_3, etc. O coeficiente a_0 não aparece em nenhuma relação e portanto é um parâmetro livre independentemente de a_1 — isto condiz com a ordem 2 da EDO (duas constantes arbitrárias).

Passo 6

Resolvendo a recorrência explicitamente.
  • Vamos obter uma expressão fechada para a_{n+1} em função de a_1. Para n\ge 0,
a_{n+1}=a_1\prod_{j=0}^{n-1}\frac{j+1}{j+2}.
  • O produto telescopa. Calculemos:
\prod_{j=0}^{n-1}\frac{j+1}{j+2}=\frac{1}{n+1}.
(Verificação rápida: para n=1 \frac{1}{2}, para n=2 \frac{1}{3}, etc.)
  • Portanto, para n\ge 1 (ou uniformemente para n\ge 0 ao indexar apropriadamente),
a_n=\frac{a_1}{n}\qquad (n\ge 1).
  • Resumo dos coeficientes: a_0 é livre, a_1 é livre, e para n\ge 1 temos a_n=a_1/n.

Passo 7

Soma da série e identificação com função conhecida.
  • A série solução fica
y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_1}{n}t^n = a_0 + a_1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}.
  • Recordando a série conhecida (soma para |t|<1):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}=-\ln(1-t),
temos então
y(t)=a_0 - a_1\ln(1-t).
  • Como a_0 e a_1 são constantes arbitrárias, renomeando constantes livres C_1=a_0 e C_2=-a_1 obtemos a forma usual da solução geral:
y(t)=C_1 + C_2\ln(1-t).

Passo 8

Comentários finais e domínio de validade.
  • A solução dada por y(t)=C_1+C_2\ln(1-t) satisfaz a EDO (pode-se verificar substituindo).
  • A série de potência que usamos converge para |t|<1; a expressão fechada com \ln(1-t) é a continuação analítica natural até t=1 (onde há singularidade logarítmica).
  • As duas soluções independentes escolhidas são y_1(t)=1 e y_2(t)=\ln(1-t), combinadas linearmente para obter a solução geral.

Resposta

y(t)=C_1 + C_2\ln(1-t)

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