Determine um conjunto fundamental de soluções para as equações abaixo e resolva o PVI associado.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial homogênea
y'' + 4y' + 5y = 0,
e (2) resolver o problema de valor inicial (PVI) com condições
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações fornecidas: a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as duas condições iniciais.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica
r^2 + 4r + 5 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculando:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i.

Passo 3

Quando a equação característica tem raízes complexas r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \beta\neq0), as soluções reais fundamentais são
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x),
porque e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x \pm i\sin\beta x) e as partes real e imaginária dão duas soluções reais linearmente independentes. No nosso caso \alpha=-2 e \beta=1, portanto um conjunto fundamental de soluções é
\{\,e^{-2x}\cos x,\; e^{-2x}\sin x\,\}.

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é combinação linear das soluções fundamentais:
y(x)=e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui C_1 e C_2 representam os coeficientes da combinação linear — na prova, sempre escreva a solução geral assim e depois use as condições.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição inicial y(0)=0. Avaliando y em x=0:
y(0)=e^{0}\bigl(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\bigr)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Logo
C_1=0.

Passo 6

Agora precisamos de y'(x) para usar y'(0)=1. Calculamos y' passo a passo usando regra do produto e cadeia. Partimos de
y(x)=e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).
Derivando:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + e^{-2x}\frac{d}{dx}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).
Sabendo \dfrac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x} e \dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x,\\ \dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, obtemos
y'(x)=-2e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + e^{-2x}\bigl(-C_1\sin x + C_2\cos x\bigr).
Fatorando e^{-2x}:
y'(x)=e^{-2x}\bigl( -2C_1\cos x -2C_2\sin x -C_1\sin x + C_2\cos x\bigr).
Agrupando termos por C_1 e C_2:
y'(x)=e^{-2x}\bigl( C_1(-2\cos x - \sin x) + C_2(\cos x - 2\sin x)\bigr).

Passo 7

Agora avaliamos y'(0). Em x=0 tem-se \cos 0=1 e \sin 0=0, logo
y'(0)=e^{0}\bigl( C_1(-2\cdot1 - 0) + C_2(1 - 0)\bigr) = -2C_1 + C_2.
Usando C_1=0 e a condição y'(0)=1 obtemos
-2\cdot 0 + C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2=1.

Passo 8

Substituindo as constantes na solução geral concluímos que a solução do PVI é
y(x)=e^{-2x}\sin x.
Também confirmamos o conjunto fundamental encontrado anteriormente:
\{\,e^{-2x}\cos x,\; e^{-2x}\sin x\,\}.

Resposta

\{e^{-2x}\cos x,\\ e^{-2x}\sin x\}
\;y(x)=e^{-2x}\sin x

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