Determine um conjunto fundamental de soluções para as equações abaixo e resolva o PVI associado.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial homogênea
e (2) resolver o problema de valor inicial (PVI) com condições
Informações fornecidas: a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as duas condições iniciais.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação obtém-se a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculando:
Passo 3
Quando a equação característica tem raízes complexas
(com
,
), as soluções reais fundamentais são
porque
e as partes real e imaginária dão duas soluções reais linearmente independentes. No nosso caso
e
, portanto um conjunto fundamental de soluções é
Passo 4
A solução geral da equação homogênea é combinação linear das soluções fundamentais:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui
e
representam os coeficientes da combinação linear — na prova, sempre escreva a solução geral assim e depois use as condições.
Passo 5
Aplicamos a primeira condição inicial
. Avaliando
em
:
Logo
Passo 6
Agora precisamos de
para usar
. Calculamos
passo a passo usando regra do produto e cadeia. Partimos de
Derivando:
Sabendo
e
, obtemos
Fatorando
:
Agrupando termos por
e
:
Passo 7
Agora avaliamos
. Em
tem-se
e
, logo
Usando
e a condição
obtemos
Passo 8
Substituindo as constantes na solução geral concluímos que a solução do PVI é
Também confirmamos o conjunto fundamental encontrado anteriormente: