Resolva o PVI abaixo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-t y^{\prime}-y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}-t\,y^{\prime}-y=0,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y^{\prime}(0)=0. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de t.
  • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=0.
    O objetivo é achar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.]

Passo 2

Tentativa de achar uma solução particular simples. Vou testar uma solução do tipo exponencial com quadrado no expoente, isto é, vou tentar
y(t)=e^{a t^{2}},
onde [a) é constante a determinar. Isso é uma boa ideia porque a presença de t multiplicando y' sugere que derivadas podem produzir fatores t que se combinam bem com potências de t vindas do expoente.
Calcule as derivadas:
y'(t)=2a t e^{a t^{2}}, \qquad y''(t)=\bigl(2a + 4a^{2} t^{2}\bigr)e^{a t^{2}}.
Substituindo na equação \,y''-t y'-y=0, obtemos
\bigl(2a + 4a^{2} t^{2}\bigr)e^{a t^{2}} - t\bigl(2a t e^{a t^{2}}\bigr) - e^{a t^{2}}=0.
Fatorando e^{a t^{2}} (que nunca é zero) obtemos a condição para todos t:
2a - 1 + t^{2}\bigl(4a^{2}-2a\bigr)=0.
Para essa igualdade ser válida para todo t é necessário que os coeficientes constantes e de t^{2} sejam zero:
\begin{cases} 2a-1=0,\\[4pt] 4a^{2}-2a=0. \end{cases}
A primeira equação dá a=\tfrac{1}{2}\]. Substituindo em \(4a^{2}-2a confirma-se que o segundo termo também é zero. Logo a escolha funciona.
Concluímos que uma solução encontrada é
y_{1}(t)=e^{\tfrac{t^{2}}{2}}.]

Passo 3

Explicação sobre o espaço de soluções: sendo a equação linear de segunda ordem, a solução geral é combinação linear de duas soluções linearmente independentes:
y(t)=C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t).
Como já temos y_{1}, precisamos de uma segunda solução y_{2} independente. Uma técnica padrão é a redução de ordem: suponha y_{2}(t)=v(t)\,y_{1}(t). Há uma fórmula conhecida que economiza trabalho:
se a equação está na forma padrão
y''+P(t) y'+Q(t) y=0,
e y_{1} é solução não-nula, então uma segunda solução pode ser tomada como
y_{2}(t)=y_{1}(t)\int \frac{e^{-\int P(t)\,dt}}{y_{1}(t)^{2}}\,dt.
Aqui nossa equação é y''-t y'-y=0, então P(t)=-t. Calculamos
-\int P(t)\,dt=-\int(-t)\,dt=\int t\,dt=\tfrac{t^{2}}{2}.
Substituindo y_{1}(t)=e^{t^{2}/2} na fórmula do denominador y_{1}^{2}=e^{t^{2}}, temos o integrando
\frac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}}=\frac{e^{t^{2}/2}}{e^{t^{2}}}=e^{-t^{2}/2}.
Assim uma segunda solução é
y_{2}(t)=e^{\tfrac{t^{2}}{2}}\int e^{-\tfrac{t^{2}}{2}}\,dt.
Observação útil: a integral \int e^{-t^{2}/2}\,dt não tem primitiva elementar em termos de funções elementares; ela está relacionada com a função erro (error function). Para trabalhar com as condições iniciais é conveniente escolher a primitiva com limite de integração 0:
I(t):=\int_{0}^{t} e^{-\tfrac{s^{2}}{2}}\,ds,
que satisfaz I(0)=0. Então podemos usar
y_{2}(t)=e^{\tfrac{t^{2}}{2}}\,I(t).

Passo 4

Escrevendo a solução geral com as constantes C_{1},C_{2}:
y(t)=C_{1}e^{\tfrac{t^{2}}{2}}+C_{2}\,e^{\tfrac{t^{2}}{2}}I(t).
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Avaliação em t=0:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}I(0)=C_{1}+C_{2}\cdot 0=C_{1}.
Como y(0)=1, obtemos
C_{1}=1.
Agora precisamos de y'(t) para usar y'(0)=0. Diferenciando a expressão geral (produto e regra da derivada de I(t) que é I'(t)=e^{-t^{2}/2}):
\begin{aligned} y'(t) &=C_{1}\bigl(t e^{\tfrac{t^{2}}{2}}\bigr) + C_{2}\left[ t e^{\tfrac{t^{2}}{2}} I(t) + e^{\tfrac{t^{2}}{2}} \cdot e^{-\tfrac{t^{2}}{2}} \right]\\[4pt] &=t e^{\tfrac{t^{2}}{2}}\bigl(C_{1}+C_{2}I(t)\bigr) + C_{2}. \end{aligned}
Agora avalia em t=0:
y'(0)=0\cdot\bigl(C_{1}+C_{2}I(0)\bigr)+C_{2}=C_{2}.
A condição y'(0)=0 C_{2}=0.]

Passo 5

Resumo dos coeficientes obtidos:
C_{1}=1,\qquad C_{2}=0.
Com esses valores a solução que satisfaz o PVI é a solução correspondente ao coeficiente C_{1} não nulo e C_{2}=0.

Resposta

y(t)=e^{\tfrac{t^{2}}{2}}

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