A equação é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de t.
As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=0.
O objetivo é achar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.]
Passo 2
Tentativa de achar uma solução particular simples. Vou testar uma solução do tipo exponencial com quadrado no expoente, isto é, vou tentar
y(t)=e^{a t^{2}},
onde [a) é constante a determinar. Isso é uma boa ideia porque a presença de t multiplicando y' sugere que derivadas podem produzir fatores t que se combinam bem com potências de t vindas do expoente.
Calcule as derivadas:
y'(t)=2a t e^{a t^{2}}, \qquad y''(t)=\bigl(2a + 4a^{2} t^{2}\bigr)e^{a t^{2}}.
A primeira equação dá a=\tfrac{1}{2}\]. Substituindo em \(4a^{2}-2a confirma-se que o segundo termo também é zero. Logo a escolha funciona.
Concluímos que uma solução encontrada é
y_{1}(t)=e^{\tfrac{t^{2}}{2}}.]
Passo 3
Explicação sobre o espaço de soluções: sendo a equação linear de segunda ordem, a solução geral é combinação linear de duas soluções linearmente independentes:
y(t)=C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t).
Como já temos y_{1}, precisamos de uma segunda solução y_{2} independente. Uma técnica padrão é a redução de ordem: suponha y_{2}(t)=v(t)\,y_{1}(t). Há uma fórmula conhecida que economiza trabalho:
se a equação está na forma padrão
y''+P(t) y'+Q(t) y=0,
e y_{1} é solução não-nula, então uma segunda solução pode ser tomada como
Observação útil: a integral \int e^{-t^{2}/2}\,dt não tem primitiva elementar em termos de funções elementares; ela está relacionada com a função erro (error function). Para trabalhar com as condições iniciais é conveniente escolher a primitiva com limite de integração 0:
I(t):=\int_{0}^{t} e^{-\tfrac{s^{2}}{2}}\,ds,
que satisfaz I(0)=0. Então podemos usar
y_{2}(t)=e^{\tfrac{t^{2}}{2}}\,I(t).
Passo 4
Escrevendo a solução geral com as constantes C_{1},C_{2}: