Resolva as EDOs de 1^{\circ} ordem lineares abaixo
d y d x+3 x^{2} y=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+3x^{2}y=x^{2}.
O que se pede é encontrar a solução geral y(x). Informação dada: a equação já está escrita (ou pode ser colocada) na forma linear padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).

Passo 2

Primeiro vou pôr a equação na forma padrão e identificar P(x) e Q(x).
A equação já está em padrão: \dfrac{dy}{dx}+3x^{2}y=x^{2}.
Logo
P(x)=3x^{2},\qquad Q(x)=x^{2}.

Passo 3

Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor) de maneira direta. Para uma EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
A razão: multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se no lado esquerdo a derivada do produto \mu(x)y(x), porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y,
e se \mu'=\mu P então \mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y, que é exatamente \mu multiplicando a equação original. Depois integra-se ambos os lados.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso P(x)=3x^{2}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 3x^{2}\,dx\right)=\exp\!\left(x^{3}\right)=e^{x^{3}}.

Passo 5

Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}}:
e^{x^{3}}\frac{dy}{dx}+3x^{2}e^{x^{3}}y = x^{2}e^{x^{3}}.
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de e^{x^{3}}y:
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{3}}y\big)=x^{2}e^{x^{3}}.

Passo 6

Agora integro ambos os lados em relação a x:
e^{x^{3}}y=\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Para calcular a integral use a substituição u=x^{3}. Então du=3x^{2}dx, daí x^{2}dx=\dfrac{du}{3}. Assim
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}e^{u}+\widetilde{C}=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+\widetilde{C}.
Juntando constantes (absorvendo \widetilde{C} em C) obtemos
e^{x^{3}}y=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C.

Passo 7

Isolando y:
y=\frac{1}{3}+Ce^{-x^{3}}.
Essa é a solução geral da EDO, com C constante arbitrária real. É bom sempre checar rapidamente: diferenciando y obtém-se \dfrac{dy}{dx}=-3Cx^{2}e^{-x^{3}} e substituindo na equação original confirma-se que a igualdade fica \,x^{2}=x^{2}, então está correta.

Resposta

y=\dfrac{1}{3}+Ce^{-x^{3}}

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