Resolva as EDOs de
ordem lineares abaixo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O que se pede é encontrar a solução geral
. Informação dada: a equação já está escrita (ou pode ser colocada) na forma linear padrão
.
Passo 2
Primeiro vou pôr a equação na forma padrão e identificar
e
.
A equação já está em padrão: .
Logo
A equação já está em padrão:
Logo
Passo 3
Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor) de maneira direta. Para uma EDO linear de primeira ordem
define-se o fator integrante
A razão: multiplicando a equação por
obtém-se no lado esquerdo a derivada do produto
, porque
e se
então
, que é exatamente
multiplicando a equação original. Depois integra-se ambos os lados.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso
:
Passo 5
Multiplico a equação original por
:
Pelo raciocínio do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 6
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Para calcular a integral use a substituição
. Então
, daí
. Assim
Juntando constantes (absorvendo
em
) obtemos
Passo 7
Isolando
:
Essa é a solução geral da EDO, com
constante arbitrária real. É bom sempre checar rapidamente: diferenciando
obtém-se
e substituindo na equação original confirma-se que a igualdade fica
, então está correta.