Esboce o campo de direções da EDO
e esboce o gráfico da solução passando pelo ponto ( 0,0 ). 9. Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis
Passo 1
O enunciado que chegou tem duas partes (vou listar exatamente o que pede e as informações que temos):
- Parte A: “Esboce o campo de direções da EDO
e esboce o gráfico da solução passando pelo ponto .” - Informação dada: a equação diferencial ordinária é
. - Informação extra: ponto inicial para a solução solicitada é
.
- Informação dada: a equação diferencial ordinária é
- Parte B: “9. Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis”
- Aqui não foram fornecidas as EDOs específicas a serem resolvidas — só a instrução de método. Não há equações abaixo no enunciado recebido.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o pedido e os dados.
Passo 2
O que é um campo de direções e como interpretá-lo para
(aula curta e intuitiva).
- Campo de direções: em cada ponto
do plano traça-se um pequeno segmento de reta cuja inclinação (slope) é igual a naquele ponto. Esses segmentos mostram para onde as soluções (curvas integrais) “apontam” em cada posição — são tangentes locais às soluções. - No nosso caso a regra é simples:
. Isso significa que a inclinação do segmento em depende só da coordenada e é independente de . Então, para um mesmo valor de todos os pontos na vertical constante têm o mesmo pequeno segmento de reta (mesma inclinação). - Exemplos numéricos (isto ajuda a desenhar à mão): em
a inclinação é (declive negativo acentuado), em é , em é (horizontal), em é (45°), em é (mais íngreme). Esses valores são tirados diretamente da equação porque peguei do enunciado.
Passo 3
Resolver a EDO explicitamente (integração simples passo a passo).
- Começamos com a equação dada:
- Trata-se de uma equação de primeira ordem muito simples: separar as variáveis aqui equivale a reconhecer que podemos escrever
. Isso é só reescrever a derivada como diferencial. - Integramos ambos os lados em relação à sua variável:
- A integral do lado esquerdo é
(mas normalmente colocamos uma única constante à direita), e a integral do lado direito é . - Igualando as duas primitivas e juntando constantes obtemos a família geral de soluções:
onde
é uma constante arbitrária real (significado prático: deslocamento vertical da parábola).
Explicação curta do que significa cada passo:
- Ao integrar
usamos a fórmula básica da antiderivada: para . Aqui , logo . - A constante
aparece porque integrais indefinidas têm constante de integração; diferentes geram diferentes soluções (curvas integrais).
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para obter a solução específica pedida.
- A família geral é
. - Impor
dá:
- Logo a solução que passa por
é
Interpretação: é uma parábola com vértice em
, abre para cima e tem concavidade tal que seu coeficiente quadrático é
.
Passo 5
Conectar a solução com o campo de direções (para saber desenhar e checar coerência).
- Como já disse, o campo de direções tem inclinação
em cada vertical const. A família geral de soluções é exatamente um conjunto de parábolas obtidas por translação vertical. - Verificação tangente: a derivada de
é , que coincide com o campo, então as parábolas são as curvas integrais — os segmentos do campo são tangentes a essas parábolas em todos os pontos. - Em particular, a curva com
passa por , tem inclinação em (horizontal no vértice), e para a inclinação cresce linearmente, o que coincide com os segmentos cada vez mais íngremes do campo.
Passo 6
Como esboçar o campo de direções e a solução na prática (passo a passo que dá pra fazer rápido na prova, sem régua complicada).
- Faça um reticulado de pontos com alguns valores de
e , por exemplo e . - Para cada ponto
trace um pequeno segmento de reta com inclinação igual a . Não precisa calcular um ângulo exato: use o valor de inclinação como “subida sobre corrida” (por exemplo, inclinação = 45°, inclinação é subir 2 para cada 1 à direita, inclinação é declive a 45° negativo, inclinação é horizontal). - Exemplos práticos de segmentos a desenhar:
- Em
desenhe segmentos bem inclinados para baixo (declive ). - Em
segmentos descendentes mais suaves (declive ). - Em
segmentos completamente horizontais. - Em
segmentos com 45° ascendentes. - Em
segmentos mais íngremes para cima.
- Em
- Depois de desenhar vários desses segmentos, trace à mão livre as curvas integrais: parábolas do tipo
. Para a solução pedida (passando por ) desenhe a parábola — ela passa pelo vértice no centro onde os segmentos eram horizontais e fica cada vez mais íngreme conforme cresce, batendo com os segmentos já traçados. - Dica rápida de aparência: o campo terá linhas horizontais de segmentos em cada vertical
iguais umas às outras (porque depende só de ). As parábolas serão “antes, no meio e depois” encaixando-se nas direções dos segmentos.
Passo 7
Breve comentário sobre existência/unicidade (para confiar no desenho):
- A função do lado direito
é contínua e Lipschitz em (na verdade independe de ), então pelo teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) existe exatamente uma solução passando por cada ponto dado. Portanto a parábola encontrada é única passando por .
Passo 8
Sobre a segunda parte do enunciado: “Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis”
- Não há como resolver esta parte porque as equações que deveriam vir “abaixo” não foram enviadas. Sem as EDOs específicas não tenho quais separações fazer, nem quais condições iniciais aplicar.
- Se quiser, envie as equações que estão faltando (cada uma escrita claramente), e eu resolvo cada uma passo a passo por separação de variáveis, com explicações e esboço das soluções como fiz aqui.
Resposta
Não é possível resolver as EDOs pedidas na parte 9 porque as equações não foram fornecidas no enunciado.