Esboce o campo de direções da EDO y^{\prime}=x e esboce o gráfico da solução passando pelo ponto ( 0,0 ). 9. Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis

Passo 1

O enunciado que chegou tem duas partes (vou listar exatamente o que pede e as informações que temos):
  • Parte A: “Esboce o campo de direções da EDO y' = x e esboce o gráfico da solução passando pelo ponto (0,0).”
    • Informação dada: a equação diferencial ordinária é \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=x.
    • Informação extra: ponto inicial para a solução solicitada é (0,0).
  • Parte B: “9. Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis”
    • Aqui não foram fornecidas as EDOs específicas a serem resolvidas — só a instrução de método. Não há equações abaixo no enunciado recebido.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o pedido e os dados.

Passo 2

O que é um campo de direções e como interpretá-lo para \displaystyle y'=x (aula curta e intuitiva).
  • Campo de direções: em cada ponto (x,y) do plano traça-se um pequeno segmento de reta cuja inclinação (slope) é igual a y' naquele ponto. Esses segmentos mostram para onde as soluções (curvas integrais) “apontam” em cada posição — são tangentes locais às soluções.
  • No nosso caso a regra é simples: \displaystyle y'(x,y)=x. Isso significa que a inclinação do segmento em (x,y) depende só da coordenada x e é independente de y. Então, para um mesmo valor de x todos os pontos na vertical x= constante têm o mesmo pequeno segmento de reta (mesma inclinação).
  • Exemplos numéricos (isto ajuda a desenhar à mão): em x=-2 a inclinação é y'=-2 (declive negativo acentuado), em x=-1 é y'=-1, em x=0 é y'=0 (horizontal), em x=1 é y'=1 (45°), em x=2 é y'=2 (mais íngreme). Esses valores são tirados diretamente da equação porque peguei x do enunciado.

Passo 3

Resolver a EDO explicitamente (integração simples passo a passo).
  • Começamos com a equação dada:
\frac{dy}{dx}=x.
  • Trata-se de uma equação de primeira ordem muito simples: separar as variáveis aqui equivale a reconhecer que podemos escrever dy = x\,dx. Isso é só reescrever a derivada como diferencial.
  • Integramos ambos os lados em relação à sua variável:
\int dy = \int x\,dx.
  • A integral do lado esquerdo é \int dy = y + C_1 (mas normalmente colocamos uma única constante à direita), e a integral do lado direito é \int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C_2.
  • Igualando as duas primitivas e juntando constantes obtemos a família geral de soluções:
y = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária real (significado prático: deslocamento vertical da parábola).
Explicação curta do que significa cada passo:
  • Ao integrar \int x\,dx usamos a fórmula básica da antiderivada: \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=1, logo \int x\,dx = x^2/2.
  • A constante C aparece porque integrais indefinidas têm constante de integração; diferentes C geram diferentes soluções (curvas integrais).

Passo 4

Aplicar a condição inicial (0,0) para obter a solução específica pedida.
  • A família geral é \displaystyle y=\frac{x^2}{2}+C.
  • Impor y(0)=0 dá:
0=\frac{0^2}{2}+C \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Logo a solução que passa por (0,0) é
\boxed{y=\frac{x^2}{2}.}
Interpretação: é uma parábola com vértice em (0,0), abre para cima e tem concavidade tal que seu coeficiente quadrático é \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Conectar a solução com o campo de direções (para saber desenhar e checar coerência).
  • Como já disse, o campo de direções tem inclinação x em cada vertical x=const. A família geral de soluções \displaystyle y=\frac{x^2}{2}+C é exatamente um conjunto de parábolas obtidas por translação vertical.
  • Verificação tangente: a derivada de y=\dfrac{x^2}{2}+C é \displaystyle y' = x, que coincide com o campo, então as parábolas são as curvas integrais — os segmentos do campo são tangentes a essas parábolas em todos os pontos.
  • Em particular, a curva com C=0 passa por (0,0), tem inclinação 0 em x=0 (horizontal no vértice), e para x>0 a inclinação cresce linearmente, o que coincide com os segmentos cada vez mais íngremes do campo.

Passo 6

Como esboçar o campo de direções e a solução na prática (passo a passo que dá pra fazer rápido na prova, sem régua complicada).
  1. Faça um reticulado de pontos com alguns valores de x e y, por exemplo x\in\{-2,-1,-0{,}5,0,0{,}5,1,2\} e y\in\{-2,-1,0,1,2\}.
  2. Para cada ponto (x,y) trace um pequeno segmento de reta com inclinação igual a x. Não precisa calcular um ângulo exato: use o valor de inclinação como “subida sobre corrida” (por exemplo, inclinação 1 = 45°, inclinação 2 é subir 2 para cada 1 à direita, inclinação -1 é declive a 45° negativo, inclinação 0 é horizontal).
  3. Exemplos práticos de segmentos a desenhar:
    • Em x=-2 desenhe segmentos bem inclinados para baixo (declive -2).
    • Em x=-1 segmentos descendentes mais suaves (declive -1).
    • Em x=0 segmentos completamente horizontais.
    • Em x=1 segmentos com 45° ascendentes.
    • Em x=2 segmentos mais íngremes para cima.
  4. Depois de desenhar vários desses segmentos, trace à mão livre as curvas integrais: parábolas do tipo y=\dfrac{x^2}{2}+C. Para a solução pedida (passando por (0,0)) desenhe a parábola y=\dfrac{x^2}{2} — ela passa pelo vértice no centro onde os segmentos eram horizontais e fica cada vez mais íngreme conforme x cresce, batendo com os segmentos já traçados.
  5. Dica rápida de aparência: o campo terá linhas horizontais de segmentos em cada vertical x iguais umas às outras (porque depende só de x). As parábolas serão “antes, no meio e depois” encaixando-se nas direções dos segmentos.

Passo 7

Breve comentário sobre existência/unicidade (para confiar no desenho):
  • A função do lado direito f(x,y)=x é contínua e Lipschitz em y (na verdade independe de y), então pelo teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) existe exatamente uma solução passando por cada ponto dado. Portanto a parábola encontrada é única passando por (0,0).

Passo 8

Sobre a segunda parte do enunciado: “Resolva as EDOs abaixo por separação de variáveis”
  • Não há como resolver esta parte porque as equações que deveriam vir “abaixo” não foram enviadas. Sem as EDOs específicas não tenho quais separações fazer, nem quais condições iniciais aplicar.
  • Se quiser, envie as equações que estão faltando (cada uma escrita claramente), e eu resolvo cada uma passo a passo por separação de variáveis, com explicações e esboço das soluções como fiz aqui.

Resposta

y=\dfrac{x^{2}}{2} (solução que passa por (0,0)).
Não é possível resolver as EDOs pedidas na parte 9 porque as equações não foram fornecidas no enunciado.

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