Resolva o PVI \square \square \square \quad t_{t} d y d t-y=2 t^{2} ; y(1)=5

Passo 1

O enunciado (assumindo a forma correta da equação) nos dá o problema de valor inicial
t\frac{dy}{dt}-y=2t^{2},\qquad y(1)=5.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação diferencial é de primeira ordem.
  • Há uma condição inicial em t=1: y(1)=5.
  • Para poder dividir por t e colocar na forma padrão, é necessário considerar t\neq0. Portanto a solução será válida em intervalos que não contenham t=0 (por exemplo t>0 ou t<0).

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão y'+p(t)y=q(t). Dividindo ambos os lados por t (lembrando t\neq0):
\frac{dy}{dt}-\frac{1}{t}y=2t.
Aqui identificamos p(t)=-\dfrac{1}{t} e q(t)=2t.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante de forma didática. Para uma equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Multiplicando a equação por \mu(t) obtém-se
\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu(t)p(t)y=(\mu(t)y)'\!,
ou seja, o lado esquerdo vira a derivada do produto \mu(t)y. Então integra-se ambos os lados para obter \mu(t)y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para nosso caso. Aqui p(t)=-\dfrac{1}{t}, então
\int p(t)\,dt=\int -\frac{1}{t}\,dt=-\ln t.
Portanto
\mu(t)=\exp(-\ln t)=\frac{1}{t},
válido para t>0 (para t<0 o mesmo resultado aparece com sinal do log absoluto, mas mantemos a ideia de domínio sem t=0).

Passo 5

Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(t)=\dfrac{1}{t}. Começando de
\frac{dy}{dt}-\frac{1}{t}y=2t,
multiplicando por \dfrac{1}{t} obtemos
\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}-\frac{1}{t^{2}}y=2.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{y}{t}. De fato,
\left(\frac{y}{t}\right)'=\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}-\frac{1}{t^{2}}y.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a t:
\left(\frac{y}{t}\right)'=2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{t}=\int 2\,dt=2t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolar y para obter a solução geral. Multiplicando por t:
y=2t^{2}+Ct.
Essa é a solução geral da equação diferencial no domínio considerado ( t\neq0).

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(1)=5 para determinar C. Substituindo t=1 e y(1)=5:
5=2\cdot 1^{2}+C\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad 5=2+C \quad\Longrightarrow\quad C=3.

Passo 9

Substituir C=3 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
y(t)=2t^{2}+3t,
válida para t\neq0 (em particular para o intervalo que contém t=1, tipicamente para t>0).

Resposta

y(t)=2t^{2}+3t

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