Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado (assumindo a forma correta da equação) nos dá o problema de valor inicial
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação diferencial é de primeira ordem.
- Há uma condição inicial em
: . - Para poder dividir por
e colocar na forma padrão, é necessário considerar . Portanto a solução será válida em intervalos que não contenham (por exemplo ou ).
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando
):
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante de forma didática. Para uma equação linear de primeira ordem
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtém-se
ou seja, o lado esquerdo vira a derivada do produto
. Então integra-se ambos os lados para obter
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para nosso caso. Aqui
, então
Portanto
válido para
(para
o mesmo resultado aparece com sinal do log absoluto, mas mantemos a ideia de domínio sem
).
Passo 5
Multiplicar a equação na forma padrão por
. Começando de
multiplicando por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral. Multiplicando por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial no domínio considerado (
).
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Passo 9
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o PVI:
válida para
(em particular para o intervalo que contém
, tipicamente para
).